Minimal cubature formulae of degree 2k−1 for two classical functionals

Abstract

Cubature formulae with the number of nodes equal to Möller's lower bound are rare. In this paper, the relation between real polynomial ideals and cubature formulae is used to construct such minimal formulae of arbitrary odd degree for two classical integrals. We found general expressions for bases of these ideals and closed formulae for almost all nodes. We proved that all nodes are inside the domain of integration.

Zusammenfassung

Es sind nur wenige Kubaturformeln bekannt, deren Knotenzahl Möllers unterer Schranke entspricht. In dieser Arbeit werden die Beziehungen zwischen reelen Idealen und Kubaturformeln ausgenutzt, um solche minimale Formeln mit beliebigem ungeraden Grad für zwei klassische Integrale zu bestimmen. Eine Basis der Ideale kann explizit angegeben werden, weiter können fast alle Knoten in geschlossener Form bestimmt werden. Es wird gezeigt, daß alle Knoten im Integrationsbereicht liegen.