An algorithm for generating all maximal independent subsets of posets

Abstract

This paper gives an algorithm for determining the setU ⁰(Θ) of all maximal independent subsets of a finite poset Θ=(A, O), based on a (complex) Θ-induced arrangement ofU ⁰(Θ) as a rooted tree. By this procedure, all essential data manipulations can be restricted to certain bipartite graphs, thereby leading to a computation complexity not exceedingO(|A|·|$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{O}$) per maximal independent subset obtained (where$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{O}$ denotes the immediate ordering relations). In fact, an intensive study of examples (with |A| ranging from 10–200) even showed almost total independence of external parameters such as |A|, |O| or |$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{O}$| and at the same time led to considerably low computation times. Thus, in particular, the application of standard graph-theoretical methods to the associated comparability graph of Θ would no longer seem a reasonable approach to the considered problem.

Zusammenfassung

Es wird ein Algorithmus entwickelt, welcher das SystemU ⁰(Θ) aller unabhängigen Mengen einer endlichen Ordnung Θ=(A, O) generiert, und zwar aufbauend auf einer (komplizierten) Darstellung vonU ⁰(Θ) als Wurzelbaum. Hierbei können alle wesentlichen Datenmanipulationen innerhalb zugehöriger bipartiter Graphen durchgeführt werden, woraus eine Komplexität von höchstensO(|A|·|$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{O}$) pro gefundener maximal unabhängiger Menge resultiert ($\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{O}$ bezeichnet die unmittelbaren Ordnungs-relationen). Tatsächlich zeigte eine intensive Untersuchung von Beispielen mit Trägermengen der Kardinalität 10 bis 200 nahezu überhaupt keine Abhängigkeit der durchschnittlichen Rechenzeit von externen Parametern (wie |A|, |O| und |$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{O}$|). Zudem ergaben sich erstaunlich niedrige Rechenzeiten. Insgesamt erweist sich somit der Algorithmus als empfehlenswerte Alternative gegenüber der Anwendung der bekannten graphentheoretischen Verfahren auf den zu Θ gehörenden Vergleichbarkeitsgraphen.