Ein numerisches Verfahren zur Lösung des Neumannschen Außenraumproblems für die Helmholtzsche Schwingungsgleichung

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wird ein numerisches Verfahren zur Lösung des zweidimensionalen Problems beschrieben. Der nur aus Randpotentialen bestehende Lösungsansatz führt zu einer stets eindeutig lösbaren vollstetigen Operatorgleichung. Bei der Bestimmung ihrer Lösung treten Integraloperatoren auf, die in einen periodischen, stetigen und in einen periodischen, logarithmisch singulären Anteil zerlegt werden. Diese Integrale werden im Anschluß an Untersuchungen vonK. E. Atkinson mit Hilfe geeigneter Quadraturformeln angenähert, die sich unter Ausnutzung der Periodizität durch trigonometrische Interpolation ergeben. Ein Beispiel zeigt, daß mit der beschriebenen Methode sehr genaue Ergebnisse erzielt werden.

Summary

This paper describes a method for solving the two-dimensional problem. The integral approach, acting only on functions defined on the boundary, leads to an always uniquely solvable compact operator equation. In solving this equation integral operators occur which are split into a periodic continuous and a periodic logarithmic singular term. FollowingK. E. Atkinson these integrals are approximated by appropriate “generalized” quadrature formulas which are developed by trigonometric interpolation because of the periodic character of the integrand. An example shows that good results are obtained by the method described here.