Rational approximation to 19-0119-0119-01on [0, 1]

Abstract

В стАтьЕ пОлУЧЕНО УсИ лЕНИЕ НЕскОлькИх РЕж УльтАтОВ О РАцИОНАльНОИ АппРОк сИМАцИИx ^α НА [0,1]. ДОкАжАНО, ЧтО НАИ лУЧшИЕ пРИБлИжЕНИьr _n (x ^α) ФУНкцИИx ^α НА [0,1] РАцИОНА льНыМИ ДРОБьМИ пОРьДкАn Дль лУБОгО НЕцЕлОгО пОлО жИтЕльНОгО А УДОВлЕтВОРьУт сООт НОшЕНИУ

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } r_n^{1/\sqrt n } (x^\alpha ) = \exp ( - 2\pi \sqrt \alpha ).$$

гИпОтЕжА О спРАВЕДлИ ВОстИ ЁтОИ ОцЕНкИ Был А ВыскАжАНА А. А. гОНЧАРОМ В 1974 г.

кРОМЕ тОгО, тОЧНАь ОцЕ НкА, пОлУЧЕННАь Н. с. Вь ЧЕслАВОВНы Дль слУЧАь А=1/2 РАс-пРОс тРАНьЕтсь В РАБОтЕ НА пРОИжВОль НыЕ пОлОжИтЕльНыЕ РА цИОНАльНыЕ ЧИслА α:

$$b_\alpha |\sin \pi \alpha |< r_n (x^\alpha )\exp (2\pi \sqrt {\alpha n} )< B_{p,q} ,$$

жДЕсь α=p/q.