Über die horizontale Diffusion im Meere

Zusammenfassung

Es wird die Diffusion einer anfänglich in einem Punkt konzentrierten Substanz in Gebieten mit mittleren Radien von 10 bis 1500 km untersucht. Die Konzentrations wird dabei als Funktion der Zeitt und der von den Linien konstanter Konzentration einer diffundierenden Substanz eingeschlossenen Flächen dargestellt. Diese Funktion ist unabhängig von einem Koordinatensystem und kann statistisch untersucht werden. Die beiden Postulate einer konstanten mittleren Ausbreitungsgeschwindigkeit und einer proportional dem Linearmaßstabr der jeweiligen Fläche zunehmenden Streuung führen zu der Diffusionsgleichung

$$\frac{{\partial s}}{{\partial t}} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {Pr^2 \frac{{\partial s}}{{\partial r}}} \right),$$

, die im Falle einer innerhalb aller betrachteten Flächen liegenden Quelle um ein konvektives Glied erweitert werden muß.

Die Lösungen dieser Gleichungen wurden an den Beobachtungen der nicht stationären Ausbreitung radioaktiven Materials und organischer Substanz sowie an der stationären Ausbreitung des salzreichen Mittelmeerwassers im Atlantik geprüft. Die Konzentrationsausbreitung einer diffundierenden Substanz wird in allen Fällen durch die Theorie mit guter Genauigkeit wiedergegeben. Die KonstanteP, die als wahrscheinlichste Diffusionsgeschwiudigkeit gedeutet werden kann, ist in allen Beispielen von der Größenordnung 1 cm/sec. Bei hinreichend genau bekanntemP ist es möglich, mit Hilfe einer strengen Ausgleichung die Anteile der Turbulenz und der Konvektion an einer beobachteten Konzentrationsverteilung zu bestimmen. Da die Konzentration auch als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet werden kann, lassen sich mit Hilfe des obigen Ansatzes auch die Häufigkeitsverteilungen der Diffusionsgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit, mit der sich zwei Teilchen im Turbulenzfeld des Meeres voneinander entfernen, berechnen.

Ein Vergleich mit der klassischen Fickschen Diffusionsgleichung zeigt die Ursachen, warum der gebräuchliche Austauschbegriff für die Betrachtung der Diffusion im Meere ungeeignet ist. Praktisch ist bei der bisherigen Austauschberechnung die Größe

$$A = \frac{1}{r}\int\limits_0^r {P \cdot r} dr = \frac{{P \cdot r}}{2}$$

bestimmt worden. Ein Vergleich mit einer Austauschtabelle nach H. U. Sverdrup zeigt die fast vollständige Übereinstimmung der so berechneten und der beobachteten Austauschwerte.

Der Zusammenhang der Diffusionsformel mit der Richardsonschen Abstandsfunktion wird diskutiert. Die Diffusionsformel hat den Vorteil, daß sich mit ihrer Hilfe die mittlere Konzentrationsverteilung und daraus auch die Abstandsfunktion berechnen läßt, während das umgekehrt nicht möglich ist.

Ein für die Nordsee berechnetes Gezeiten-Turbulenzspektrum steht in guter qualitativer Übereinstimmung mit dem von H. Stommel angegebenen hypothetischen Turbulenzspektrum für den Ozean. Die obige Diffusionsformel läßt sich danach auch von der Turbulenztheorie her als ein durch die besondere Form des Turbulenzspektrums im Meere bedingter Näherungsansatz verstehen.

Summary

In regions with mean radii varying from 10 to 1500 km, the diffusion of a substance, initially concentrated to a point, was studied. The concentrations was in this case represented as a function of timet and of the areas enclosed by lines of constant concentration of diffusing substance. This function is independent on a system of coordinates and allows statistical investigations to be made. From the two postulates for a constant mean velocity of diffusion and for a square deviation increasing proportionally to the linear measurer of the respective area follows the equation of diffusion:

$$\frac{{\partial s}}{{\partial t}} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {Pr^2 \frac{{\partial s}}{{\partial r}}} \right).$$

. This equation is to be extended by a convectional term in the case of a source situated within each of the considered areas.

The solutions of these equations were compared with the observations of the nonstationary diffusion of radioactive matter and of organic substance as well as with the stationary diffusion of mediterranean water of high salinity in the Atlantic Ocean. In all these cases, the theory is found to describe the concentration of diffusing substance with satisfactory accuracy. For the constantP that may be interpreted as the most probable velocity of diffusion, the order of magnitude is 1 cm/sec in all examples. ShouldP be known with sufficient accuracy, it is possible, with the aid of the method of the least squares, to determine the shares of turbulence and of convection in an observed concentration of diffusing substance. As concentration may be interpreted as a probability density, it follows that the distribution functions of both, the diffusion velocity and the velocity at which two particles move away from each other due to oceanic turbulence can be computed by means of the aforementioned equation.

A comparison with the well known Fickian equation of diffusion makes clear why the usual conception of eddy diffusivity is not applicable when the diffusion in the sea is considered. When, heretofore, eddy diffusivity was computed, it was, in fact, the quantity

$$A = \frac{1}{r}\int\limits_0^r {P \cdot r} dr = \frac{{P \cdot r}}{2}$$

that had been determined. A comparison with a table of values of eddy diffusivity by H. U. Sverdrup shows the almost complete accordance of the observed quantities of eddy diffusivity with the values found by the above formula.

The connection of the formula of diffusion with the function ofneighbour concentration by Richardson is discussed. The formula of diffusion offers the advantage of allowing to compute the mean concentration of diffusing substance and to infer from it the function of neighbour concentration; it is, however, not possible to proceed in the reverse order.

A spectrum of tidal turbulence computed for the North Sea is found to be in good qualitative agreement with the hypothetical turbulence spectrum of the ocean presented by H. Stommel. Proceeding from the theory of turbulence, the above diffusion formula may, therefore, also be understood as an approximation, conditioned by the special form of the turbulence spectrum in the sea.

Résumé

La diffusion d'une substance qui initialement était concentrée en un point, est étudiée pour des régions aux rayons moyens de 10 à 1500 km. Dans le cas actuel, la concentrations est représentée en fonction du tempst et des aires enfermées par des lignes de concentration constante d'une substance en diffusion. Cette fonction ne dépend pas du système de coordonnées et permet de faire des études statistiques. Les deux postulats pour une vitesse moyenne de diffusion d'une part et pour une déviation carrée (square deviation) augmentant proportionnellement à l'échelle linéairer de l'aire considérée, d'autre part, conduisent à l'équation suivante de diffusion:

$$\frac{{\partial s}}{{\partial t}} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {Pr^2 \frac{{\partial s}}{{\partial r}}} \right).$$

. Cette équation est à étendre par un terme convectif lorsqu'il existe une source dans chacune des aires considérées.

Les solutions de ces équations sont comparées aux observations de la diffusion non-stationnaire d'une matière radioactive et d'une substance organique ainsi qu'à la diffusion stationnaire en océan Atlantique des eaux de forte salinité provenant de la Méditerranée. Dans tous les cas étudiés, la théorie décrit avec une précision satisfaisante la concentration d'une substance diffusante. La constanteP que l'on pourrait considérer comme vitesse la plus probable de diffusion est de l'ordre de 1 cm/sec pour tous les exemples donnés. Lorsque la constanteP est calculée avec une précision satisfaisante, il est possible de déterminer au moyen de la méthode des moindres carrés les parts revenant à la turbulence et à la convection dans une concentration observée d'une substance en diffusion. Comme la concentration peut être également considérée comme densité de probabilité il s'ensuit que, grâce à l'équation citée ci-dessus, on peut calculer les fonctions de distributions (distribution functions) de la vitesse de diffusion et celles de la vitesse à laquelle deux particules s'éloignent l'une de l'autre à cause de la turbulence océanique.

Une comparaison avec l'équation classique de diffusion de Fick révèle pourquoi le concept usuel de l'eddy diffusivity ne se prête pas à l'étude de la diffusion dans la mer. Quand on calculait jusqu'ici l'eddy diffusivity c'était en effet toujours la grandeur

$$A = \frac{1}{r}\int\limits_0^r {P \cdot r} dr = \frac{{P \cdot r}}{2}$$

que l'on avait déterminée. La comparaison avec le tableau des valeurs de l'eddydiffusivity d'après H. U. Sverdrup montre nettement l'accord presque parfait entre les quantités observées de l'eddy diffusivity et les valeurs obtenues par application de la formule citée ci-dessus.

La relation existant entre la formule de diffusion et la fonction deneighbour concentration d'après Richardson est discutée. La supériorité de la formule de diffusion réside dans le fait qu'elle permet de calculer la concentration moyenne de la substance en diffusion, et d'en déduire la fonction deneighbour concentration; cependant, l'ordre inverse du calcul ne serait pas applicable.

Un spectre de la turbulence de la marée calculé pour la mer du Nord correspond qualitativement bien au spectre hypothétique de la turbulence établi pour l'océan par H. Stommel. Donc, partant de la théorie de la turbulence, la formule de diffusion, citée ci-dessus, permet aussi de la considérer comme approximation, exigée par la forme spéciale du spectre de la turbulence océanique.