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Nichtbeweisbarkeit von gewissen kombinatorischen Eigenschaften endlicher Bäume

Unprovability of certain combinatorial properties of finite trees

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Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung Aims and scope Submit manuscript

Abstract

In this paper we exposit some as yet unpublished results of Harvey Friedman. These results provide the most dramatic examples so far known of mathematically meaningful theorems of finite combinatorics which are unprovable in certain logical systems. The relevant logical systems,ATR 0 and Π 11 —CA 0, are well known as relatively strong fragments of second order arithmetic. The unprovable combinatorial theorems are concerned with embeddability properties of finite trees. Friedman's method is based in part of the existence of a close relationship between finite trees on the one hand, and systems of ordinal notations which occur in Gentzen-style proof theory on the other.

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit stellen wir gewisse bis jetzt nicht veröffentlichte Forschungsergebnisse von Harvey Friedman vor. Diese Ergebnisse liefern die eindrucksvollsten bis jetzt gefundenen Beispiele von mathematisch bedeutsamen Sätzen der endlichen Kombinatorik, die in gewissen logischen Systemen nicht beweisbar sind. Die betroffenen logischen SystemeATR 0 und Π 11 —CA 0 sind als verhältnismäßig starke Teilsysteme der Arithmetik der zweiten Stufe bekannt. Die nicht beweisbaren kombinatorischen Sätze haben mit Einbettbarkeitseigenschaften endlicher Bäume zu tun. Friedmans Methode gründet sich zum Teil auf eine enge Verbindung zwischen endlichen Bäumen einerseits und den Ordinalzahlbezeichnungssystemen andererseits, die in der an Gentzen anknüpfenden Beweistheorie vorkommen.

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Authors and Affiliations

  1. Department of Mathematics, Pennsylvania State University, 16802, University Park, PA, USA

    Stephen G. Simpson

Authors
  1. Stephen G. Simpson
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Partially supported by NSF grant MCS 8107867. Also partially supported by a grant from the Deutsche Forschungsgemeinschaft, while on sabbatical leave at the University of Munich.

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Simpson, S.G. Nichtbeweisbarkeit von gewissen kombinatorischen Eigenschaften endlicher Bäume. Arch math Logik 25, 45–65 (1985). https://doi.org/10.1007/BF02007556

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