On the „bayesification“ of the minimax principle

Zusammenfassung

Der Begriff „Bayesifikation“ wird als eine bestimmte Verhaltensweise bei der Wahl von Kriterien eingeführt. Bayesifikation bedeutet das Verhalten, das den Bayes'schen Lösungstyp solange beibehält, wie die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Zuständen der Realität reicht. Ein allgemeines Entscheidungsmodell im Sinne Walds wird entwickelt, die Bayes'sche und die Minimax-Lösung werden definiert, und es werden Gründe für die Bayesifikation angegeben. Weder das Bayes'sche noch das Minimax-Kriterium gestatten von sich aus die Bayesifikation. Um zur Bayesifikation im obigen Sinne zu gelangen, wird der Bayes'sche Lösungstyp zu einer bestimmten Kombination aus Bayestyp und Minimaxtyp erweitert. Diese Erweiterung wird verallgemeinert, um einen Mechanismus zu schaffen, der dem Entscheidenden erlaubt, jede verfügbare a-priori-Information dem Entscheidungskriterium zu inkorporieren. Es wird gezeigt, daß die Bayes'sche Lösung, die Minimax-Lösung und die Lösung vonHodges undLehmann Sonderfälle dieses verallgemeinerten Kriteriums sind. Ein anderer Sonderfall des verallgemeinerten Kriteriums wird als Sonderfall des vonSchneeweiss vorgeschlagenen Kriteriums dargelegt.

Summary

The term “Bayesification” is introduced as meaning the adoption of criteria, that keep the Bayes type of solution as far as the knowledge of the probability distribution over the states of nature extends. A general decision model in Wald's sense is developed, Bayes and minimax solution are defined and reasons are given for the Bayesification. Neither the Bayes nor the minimax criterion per se allow Bayesification. In order to get a Bayesification in the above sense the Bayes type of solution is extended to a certain combination of Bayes and minimax type of solution. This extension is generalized in order to provide a mechanism that allows the decision maker to incorporate into the decision criterion any a priori information available. It is shown that special cases of the generalized criterion are Bayes solution, minimax solution, and a solution analogous to that ofHodges andLehmann. Another special case of the generalized criterion is shown as a special case of a criterion proposed bySchneeweiss.