Abstract
В пРЕДыДУЩИх РАБОтАх АВтОРы В ОсНОВНОМ РАж ВИВАлИ ДВОИЧНыИ АНАлИж, ОсНО ВАННыИ НА пОНьтИИ сИльНОИ ДВ ОИЧНОИ пРОИжВОДНОИ Д ль ФУНкцИИ, ОпРЕДЕлЕННых НА ДИАД ИЧЕскОИ ГРУппЕ ИлИ НА [0,1) с пЕРИО ДОМ 1. цЕльУ НАстОьЩЕИ Р АБОты ьВльЕтсь пОстРОЕНИЕ ДВОИЧНОгО ДИФФЕРЕНцИАльНОгО И ИНтЕгРАльНОгО ИсЧИс лЕНИИ НА ОсНОВЕ БОлЕЕ слОжНОг О, НО жАтО И БОлЕЕ клАссИЧЕскОгО пОНьт Иь ДВОИЧНОИ пРОИжВОД НОИ В тОЧкЕ. ИсслЕДУУтсь тЕ пРОст РАНстВА ФУНкцИИ, Дль кОтОРых пРИМЕНИМ ДВОИЧНыИ АНАлИж, А тАк жЕ ОпРЕДЕльУтсь гРАНИц ы ЕгО пРИМЕНИМОстИ. тАк ОкАжАлОсь, ЧтО пРО стРАНстВОL p(0, l), 1≦∞, ьВльЕ тсь БОлЕЕ ЕстЕстВЕННыМ п РОстРАН стВОМ Дль пОстРОЕНИь ДВОИЧНОгО АНАлИжА, ЧЕ М клАссИЧЕскОЕ пРОстР АНстВОс[0,1]. НАпРИМЕР, ЕслИ пЕРВАь ДВОИЧНАь пРОИжВОДНАь пРИНАДл ЕжИтс[0,1], тОf=const. с ДРУгОИ стОРОНы, ЕслИfεс[0,1], тО ДВОИЧНыИ ИНтЕгРАл, пОстРОЕННы И Дльf, НЕ пРИНАДлЕжИтс[0,1]. Уст АНОВлЕНО тАкжЕ, ЧтО сИльНАь ДВО ИЧНАь пРОИжВОДНАь И Д ВОИЧНАь пРОИжВОДНАь В тОЧкЕ с ОВпАДАУт пОЧтИ ВсУДУ Дль ФУНкцИИ, пРИ НАДлЕжАЩИх ОпРЕДЕлЕ ННОМУ пОДклАссУL p[0, 1].
пОлУЧЕННыЕ РЕжУльтА ты пРИМЕНьУтсь к пОЧл ЕННОМУ ДИФФЕРЕНцИРОВАНИУ И ИНтЕгРИРОВАНИУ РьДОВ пО сИстЕМЕ УОлш А, к ОцЕНкАМ ВЕлИЧИН кОЁФФИцИЕНтОВ ФУРьЕ-УОлшА, к ДОкАжАтЕльст ВУ АНАлОгА ОсНОВНОИ тЕО РЕМы О НАИлУЧшЕМ пРИБ лИжЕНИИ Дль пОлИНОМОВ пО сИстЕМЕ УОлшА, А тАкжЕ к РЕшЕНИ У ДВОИЧНОгО ВОлНОВОг О УРАВНЕНИь.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
References
L. A. Balašov andA. I. Rubinštein, Series with respect to the Walsh system and generalizations,J. Soviet Math.,1 (1973), 727–763.
P. Billard, Sur la convergence presque partout des séries de Fourier-Walsh des fonctions de l'espaceL 2(0, 1),Studia Math.,28 (1967), 363–388.
S. V. Bočkarev, On the Fourier-Walsh coefficients,Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. mat.,34 (1970), 203–208=Math. USSR-Izv.,4 (1970), 209–214.
P. L. Butzer andR. J. Nessel,Fourier Analysis and Approximation.I, Academic Press (New York, 1971).
P. L. Butzer andK. Scherer, Jackson and Bernstein-type inequalities for families of commutative operators in Banach spaces,J. Approximation Theory,5 (1972), 308–342.
P. L. Butzer andH. J. Wagner, Walsh-Fourier series and the concept of a derivative,Applicable Anal.,3 (1973), 29–46.
P. L.Butzer and H. J.Wagner, Approximation by Walsh polynomials and the concept of a derivative,Proc. Sympos. Naval Res. Lab., Washington, D. C., 1972; 388–392 (Washington, D. C., 1972).
P. L.Butzer and H. J.Wagner, On a Gibbs-type derivative in Walsh-Fourier analysis with applications,Proc. of the Electronics Conference, Chicago 1972; 393–398 (Oak Brook, Illinois, 1972).
P. L.Butzer and H. J.Wagner, A calculus for Walsh functions defined onR +.Proc. Sympos. Naval Res. Lab., Washington, D. C., 1973; 75–81 (Washington, D. C., 1973).
P. L.Butzer and H. J.Wagner, A new calculus for Walsh functions with applications,Proc. Sympos. Hatfield Polytechnic, 1973 (Hatfield, England, 1973).
N. J. Fine, On the Walsh functions,Trans. Amer. Math. Soc.,65 (1949), 372–414.
J. E. Gibbs,Some properties of functions on the nonnegative integers less than 2n, NPL (National Physical Laboratory), Middlessex, England, DES Rept. no.3 (1969).
J. E.Gibbs and B.Ireland,Some generalizations of the logical derivative, NPL, DES Rept. no.8 (1971).
J. E.Gibbs and B.Ireland, Walsh functions and differentiation,Proc. Sympos. Naval Res. Lab., Washington, D. C., 1974; 147– 176 (Washington, D. C., 1974).
J. E.Gibbs and M. J.Millard,Walsh functions as solutions of a logical differential equation, NPL, DES Rept. no.1 (1969).
B. I. Golubov, Fourier series of continuous functions with respect to the Haar system,Dokl. Akad. Nauk SSSR,156 (1964), 247–250=Soviet Math. Dokl.,5 (1964), 620–623.
Б. I. Golubov, Fourier series of continuous functions with respect to the Haar system,Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. mat.,28 (1964), 1271–1296.
H. F.Harmuth, Real numbers versus dyadic group as basis for models of time and space (preprint).
R. A. Hunt, Almost everywhere convergence of Walsh-Fourier series ofL 2 functions,Proc. Internat. Congress Math., Nice, 1970.II, 655–661; Gauthier-Villars (Paris, 1971).
G. W. Morgenthaler, On Walsh-Fourier series,Trans. Amer. Math. Soc.,84 (1957), 472–507.
R.Penney, On the rate of growth of the Walsh anti-differentiation operator (to appear).
K. Scherer, On the best approximation of continuous functions by splines,SIAM J. Numer. Anal.,7 (1970), 418–423.
F.Schipp über einen Ableitungsbegriff von P. L. Butzer und H. J. Wagner,Proc. 5. Balkan Math. Congress, Belgrad, 1974.
A. A. šneider, On series with respect to Walsh functions with monotone coefficients,Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. mat.,12 (1948), 179–192.
H. J. Wagner,Ein Differential- und Integralkalkül in der Walsh-Fourier Analysis mit Anwendungen, Westdeutscher Verlag (Köln-Opladen, 1973).
C. Watari. Best approximation by Walsh polynomials,TÔhoku Math. J.,15 (1963), 1–5.
C. Watari, Multipliers for Walsh-Fourier series,TÔhoku Math. J.,16 (1964), 239–251.
S. Yano, On Walsh-Fourier series,TÔhoku Math. J.,3 (1951), 223–242.
A.Zygmund,Trigonometric Series.I (Cambridge, 1959).
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
With admiration to Professor S. M. Nikol'skii on the occasion of his seventieth birthday
The contribution of the second author was carried out as an associate of the research group “Informatik Nr. 14” at the Technological University of Aachen.
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Butzer, P.L., Wagner, H.J. On dyadic analysis based on the pointwise dyadic derivative. Analysis Mathematica 1, 171–196 (1975). https://doi.org/10.1007/BF01930964
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01930964