The Average number of pivot steps required by the Simplex-Method is polynomial

Abstract

The paper deals with the average number of pivot steps required by the Simplex-Method for solving linear programming problems withm inequality-restrictions inn variables.

Them hyperplanes bounding the feasible regions of the corresponding inequalities are assumed to be distributed independently, identically and symmetrically under rotations in then-dimensional Euclidean space.

A certain variant of the Simplexalgorithm, the so-called Schatteneckenalgorithmus, is analyzed. This variant can even be used for the calculation of a start vertex.

For the expected number of pivot steps required for the solution of the programming problem an explicit upper bound, which is polynomial inm andn, can be derived.

This result implies that the average computation-time required for solving the problem is polynomial inm andn, too.

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der durchschnittlichen Zahl von, die benötigt werden, um lineare Optimierungsprobleme mitm Ungleichungs-Nebenbedingungen inn Variablen mit dem Simplexverfahren zu lösen.

Diem Hyperebenen, die die Zulässigkeitsbereiche der zugehörigen Ungleichungen begrenzen, seien unabhängig, identisch und rotationssymmetrisch imn-dimensionalen euklidischen Raum verteilt.

Eine bestimmte Variante des Simplexalgorithmus, der sogenannte Schatteneckenalgorithmus, wird untersucht. Diese Variante kann sogar benutzt werden, um eine Startecke zu bestimmen.

Für die erwartete Anzahl der Pivotschritte, die zur Lösung des Optimierungsproblems erforderlich sind, kann eine explizite obere Schranke, die polynomial ist inm undn, hergeleitet werden.

Dieses Resultat garantiert, daß die durchschnittliche Rechenzeit zur Lösung des Problems ebenfalls polynomial ist inm undn.