Exact quasiconvex conjugation

Abstract

In this article we develop a conjugacy theory in quasiconvex analysis, in which no lower semicontinuity or normality assumption is needed to ensure the coincidence of the second conjugate of any function with its quasivonvex hull. This is made by an extension of the concept ofH-conjugation, and is based on a separation theorem by general halfspaces.

The theory is applied in mathematical programming to define dual problems, which consist in maximizing a quasiconcave function of matricial variable, the optimum being always attained. The absence of duality gap is equivalent to the quasiconvexity of the perturbation function at the origin. A Lagrangian for general problems is studied and compared with the one of Luenberger in the case of vertical perturbations.

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wird die Konjugierte einer quasikonvexen Funktion eingeführt, ohne dabei Halbstetigkeit oder Normalität vorauszusetzen, um übereinstimmung der zweiten Konjugierten mit der quasikonvexen Hüllenfunktion zu garantieren. Dies wird durch eine Verallgemeinerung der sogenanntenH-Konjugation erreicht und basiert auf einem Trennungssatz für allgemeine Halbräume.

Die Theorie wird dazu herangezogen, ein duales Programm einzuführen, welches ein quasikonkaves Maximumproblem ist, das eine Matrix als Variable hat und stets eine optimale Lösung besitzt. Die Abwesenheit einer Dualitätslücke ist damit gleichbedeutend, daß die Störfunktion im Ursprung quasikonvex ist. Es wird eine Lagrangefunktion für allgemeine Probleme eingeführt und mit derjenigen Luenbergers im Falle vertikaler Störungen verglichen.