Abstract
В статье для алгебраи ческих (с соответству ющими весами) и гиперсферич еских полиномов вL p-нормах (1≧p ∞; L ∞ =C) уста навливаются некотор ые аналоги неравенства С. Н. Бернштейна для про изводных тригономет рических полиномов, в которых о ператор дифференцированияd 2 /dx 2 заменяется соответствующими ди фференциальными опе раторами второго порядка. Эти н еравенства имеют вид
где, в случае алгебраи ческих полиномов,D ес ть оператор, собственны ми функциями которог о являются классическ ие ортогональные пол иномы Якоби, Лагерра и Эрмита соот ветственно; т=1 для случая конечног о, и τ=0 для случая беско нечного промежутков ортогон альности. В случаеm-мерных сфер ических полиномовD е сть угловая частьm-мерно го оператора Лапласа, τ=1.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
References
R. Askey andI. I. Hirschman, Jr., Mean summability for ultraspherical polynomials,Math. Scand.,12 (1963), 167–177.
H. К. Бари,Тригономе трические ряды, Физм атгиз (Москва, 1961).
H. К. Бари, Обобщение неравенств С. Н. Берншт ейна и А. А. Маркова,Из в. АН СССР, сер. матем.,18 (1954), 159–176.
С. Н.Бернштейн,Экстр емальные свойства по линомов и наилучшее п риближение непрерыв ных функций одной вещ ественной переменно й, I (Ленинград — Москва, 1937);
Я. С. Бугров, Прибли жение тригонометрич ескими полиномами кл ассов функций, опреде ляемых полигармонич еским оператором,Ус пехи матем. наук 13, No 2 (1958), 149–156.
И. К. Даугавет иС. 3. Р афальсон, Некоторые неравенства типа Мар кова — Никольского дл я алгебраических мно гочленов,Вестник Ле нингр. ун-та,1 (1972), 15–25.
А. С. Джафаров, О взв ешенно-наилучшем при ближении функций мно гих переменных при по мощи многочленов,Тр уды ин-та физ. и матем. А Н Азерб. ССР,8 (1959), 117–134.
Ар. С. Джафаров, Некото рые результаты о наил учших приближениях н а сфере и в шаре и их пр иложения,Канд. дисс., Т билиси, 1964.
Ар. С. Джафаров, Об о братной задаче теори и наилучших приближе ний функций на сфере и на отрезке,Докл. АН Аз ерб. ССР,26 (1970), 3–6.
Ар. С. Джафаров, О сф ерических аналогах к лассических теорем Д. Джексона и С. Н. Бернште йна,Докл. АН СССР,203 (1972), 278–281.
Ар. С. Джафаров, Оср едненные модули непр ерывности и некоторы е связи их с наилучшим и приближениями,Док л. АН СССР,236 (1977), 288–291.
Ар. С.Джафаров,Некот орые аналоги неравен ства С. Н. Бернштейна, Д еп. ВИНИТИ; No 6563–82.
M. M. Джрбашян, Некото рые вопросы теории вз вешенно-полиномиаль ных приближений в ком плексной области,Ма тем. сб.,36 (1955), 353–440.
G. Freud andS. Knapowski, On linear processes of approximation (III),Studia Math.,25 (1965), 373–383.
Г. Фройд, Об одном н еравенстве марковск ого типа,Докл. АН ССС Р,197 (1971), 790–793.
Е. Г. Голыптейн, Нек оторые оценки для про изводных гармоничес ких многочленов, В сб. «Исследования по со врем, пробл. теории фун кций комплексн. перем енного», Физматгиз (М осква, 1961), 171–180.
T. Gronwall, Über die Laplacesche Reihe,Math. Ann.,74 (1913), 213–270.
Б. А. Халилова, О нек оторых оценках для по линомов,Изв. АН Азерб. ССР, сер. физ.техн. н.,2 (1974), 46–55.
E. Helle, J. D. Tamarkin andG. Szegó, On some generalizations of a theorem of A. Markoff,Duke Math. J.,3 (1937), 729–739.
А. И. Камзолов, Об ин терполяционной форм уле Рисса и неравенст ве Бершптейна для фун кций на однородных пр остранствах,Матем. з аметки,15 (1974), 967–978.
П. П. Коровкин,Лине йные операторы и теор ия приближений, Физм атгиз (Москва, 1959).
Г. Г. Кушниренко, О п риближении функций, з аданных на единичной сфере, конечными сфер ическими суммами,На учн. докл. высш. школы, Ф из.-мат. н.,4 (1958), 47–53.
Г. Г. Кушниренко, Не которые вопросы приб лижения непрерывных функций на единичной сфере конечными сфер ическими суммами,Тр уды Харъковск. полите хн. ин-та,25 (1959), 3–22.
B. Muckenhoupt andE. M. Stein, Classical expansions and their relation to conjugate harmonic functions,Trans. Amer. Math. Soc.,118 (1965), 17–92.
S. Pawelke, Über die Approximationsordnung bei Kugelfunktionen und algebraischen Polynomen,Tôhoku J. Math.,24 (1972), 473–486.
E. L. Poiani, Mean Cesaro summability of Laguerre and Hermite series,Trans. Amer. Math. Soc.,173 (1972), 1–31.
А. Л. Шагинян, Некот орые задачи теории на илучших приближений в пространстве,Изв. А Н Арм. ССР, сер. физ.-мат.,6, (1953), 1–11.
E. Schmidt, Über die nebst ihren Ableitungen orthogonalen Polynomensysteme und das zugehörige Extremum,Math. Ann.,119 (1944), 165–209.
G.Szegó,Orthogonal polynomials, Amer. Math. Soc. Coll. Publ.,23 (Amer. Math. Soc., Providence 1939, 1975).
Г. Сегё, Ортогональ ные многочлены, Физм атгиз (Москва, 1962).
E. M. Stein, Interpolation in polynomial classes and Markoff's inequality,Duke Math. J.,24 (1957), 467–476.
С. Б. Топурия, Прибл ижение функций сумма ми Валле Пуссена,Тру ды Груз, политехн. ин-т а,6 (1967), 3–6.
Д. К. Угулава, О приб лижении функций, сумм ируемых вр-й степени, гиперсферическими п олиномами,Труды Выч исл. центра АН Груз. СС Р,16 (1976), 86–101.
Г. В. Жидков, О нерав енствах для дифферен циальных операторов от алгебраических по линомов на сфере,Диф ф. уравнения,17 (1981), 479–487.
A. Zygmund, Trigonometric Series,II, Cambridge Univ. Press (Cambridge, 1977).
А. Зигмунд,Тригоно метрические ряды,II, М ир (Москва, 1965).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Джафаров Ариф, С. Bernstein inequality for differential operators. Analysis Mathematica 12, 251–268 (1986). https://doi.org/10.1007/BF01909364
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01909364