Skip to main content
SpringerLink
Log in

On the central limit theorem for lacunary trigonometric series

О центральной предел ьной теореме для лаку нарных тригонометрических рядов

  • Published:
Analysis Mathematica Aims and scope Submit manuscript

Abstract

Хорошо известно, что в ероятностное поведе ние лакунарного тригоно метрического ряда {cos 2πn kx} тесно связ ано с «критическим» у словием лакунарности

$$\frac{{n_{k + 1} }}{{n_k }} \geqq 1 + \frac{{c_k }}{{\sqrt k }},c_k \to \infty $$
((*))

. Например, если выполн ено условие (*), то последовательность {cos2πn kx} удовлетворяет центральной предель ной теореме, и при этом условие (*) не может быть ослабле но. Для последовательносте й, удовлетворяющих (*), и звестны и другие результаты по добного рода, в то время как для более медленно расту щих последовательносте й {nk} не известно, по-видимому, ничего. В с татье развит метод, ко торый при помощи мартингально й техники позволяет проводить исследование систем {cos 2πnkx} для последовательно стей, не удовлетворяю щих условию (*). Получено про стое объяснение условия (*), изучено, как «пропа-дает» центральная предель ная теорема при посте пенном ослаблении условия (*) и дока-заны некоторые центральн ые предельные теорем ы в отсутствие этого усл овия. Получены другие предельные те оремы для {cos 2πnkx}, напри мер, закон повторного лог арифма и принципы инвариантн ости.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

References

  1. A. Baker, On some diophantine inequalities involving the exponential function,Canad. J. Math.,17 (1965), 616–626.

    Google Scholar 

  2. I. Berkes, Approximation of lacunary Walsh series with Brownian motion,Studia Sci. Math. Hangar.,9 (1974), 111–122.

    Google Scholar 

  3. I. Berkes, On the asymptotic behaviour ofεf (n kx). I. Main theorems,Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete,34 (1976), 319–345.

    Article  Google Scholar 

  4. I. Berkes, On the asymptotic behaviour ofεf (n kx). II. Applications,Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete,34 (1976), 347–365.

    Article  Google Scholar 

  5. I.Berkes, A central limit theorem for trigonometric series with small gaps,Z. Wahrschein-lichkeitstheorie und verw. Gebiete (to appear).

  6. P. Billingsley,Convergence of probability measures, Wiley (New York, 1968).

    Google Scholar 

  7. P. Erdős, On trigonometric sums with gaps,Magyar Tud. Akad. Mat. Kut. Int. Közl.,7 (1962), 37–42.

    Google Scholar 

  8. H. Halberstam andK. F. Roth,Sequences. I, Clarendon Press (Oxford, 1966).

    Google Scholar 

  9. C. C. Heyde andB. M. Brown, On the departure from normality of a certain class of martingales,Ann. Math. Statist 41 (1970), 2161–2165.

    Google Scholar 

  10. K. Mahler, On a paper by A. Baker on the approximation of rational powers ofe, Acta Arith.,27 (1975), 61–87.

    Google Scholar 

  11. W.Philipp and W. F.Stout, Almost sure invariance principles for sums of weakly dependent random variables,Mem. Amer. Math. Soc., No.161.

  12. T. Schneider,Einführung in die Transcendenten Zahlen, Springer (Berlin, 1957).

    Google Scholar 

  13. V.Strassen, Almost sure behaviour of sums of independent random variables and martingales,Proc. 5th Berkeley Sympos. Math. Statist. Probab., Vol. II, Part I; 315–343 (Univ. of California Press, 1967).

  14. S. Takahashi, On lacunary trigonometric series. II,Proc. Japan Acad.,44 (1968), 766–770.

    Google Scholar 

  15. S. Takahashi, On the law of the iterated logarithm for lacunary trigonometric series,Tôhoku Math. J.,24 (1972), 319–329.

    Google Scholar 

  16. S. Takahashi, On the law of the iterated logarithm for lacunary trigonometric series. II,Tôhoku Math. J.,27 (1975), 391–403.

    Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Mathematical Institute, Hungarian Academy of Sciences, Reáltanoda U. 13-15, 1053, Budapest, Hungary

    I. Berkes

Authors
  1. I. Berkes
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Berkes, I. On the central limit theorem for lacunary trigonometric series. Analysis Mathematica 4, 159–180 (1978). https://doi.org/10.1007/BF01908987

Download citation

  • Received:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF01908987

Keywords

Search

Navigation