On Abel—Poisson type and Riesz means

Abstract

В работе исследуются ядра методов суммиро вания типа Абеля—Пуассона и Рис са, применяемых к кратны м интегралам Фурье. Вы ясняются условия на параметры, определяющие эти методы, при которы х их ядра неотрицател ьны. Полученные результа ты можно сформулировать в тер минах положительной определенности неко торых функций. Наприм ер, функция exp(− ¦x¦^α) при 0<&#x0430; ≦2 является, а при α>2 не является положитель но определенной в евклидовом простра нствеE _N размерностиN (N=1, 2, ...). Далее, еслиt ₊=max (t, 0), то при любом натураль номN на интервале 0<λ<2 существует неубываю щая непрерывная функцияk _N (λ) такая, что функция (1 − ¦х¦^λ) ^k₊ приk≧k _N (λ) является, а приk<k _N (λ) не является положительно опреде ленной в пространств еE _N . При этом

$$k_N (1) = \frac{{N + 1}}{2}, k_N (2 - 0) = + \infty , k_N (\lambda ) \geqq \lambda + \frac{{N - 1}}{2}.$$

Если же λ≧2, то функция (1−¦x¦^λ) ^k₊ ни при каком значении параметраk не является положите льно определенной в прост ранствеE _N ,N=1, 2, ....

Кроме того, исследует ся порядок приближен ия функцийN переменных класса Н икольскогоk ^α _P , 1≦р<∞, 0<&#x0430;<2, операторам и типа Абеля—Пуассон а в метрикеL _p (E _N ).