New covering numbers and spectral properties of operators in Banach spaces

Abstract

Для каждого оператор а, действующего из одн ого банахова пространст ва в другое, можно определить последов ательности аппрокси мативных чисел, чисел Колмогор ова и т. д., а также энтропийных чисел. В р аботе предлагается е диный подход — новое покрыв ающее понятие выражается в термина х так называемыхs-пок рывающих чжсел, которое связыв ает аппроксимационн ые процедуры с энтропий ными процедурами. Устанавливаются нер авенства, которыми связаныs-по крывающие числа (соответственно,s-пок рывающие модули) и аппроксимативные ч исла; эти неравенства могут быть использованы для изу чения собственных значени йλ _n (T), ¦λ _l (T)¦≧¦λ ₂ (T)¦≧...≧0, компактного операто раT:E→E на некотором комплексн ом банаховом простра нстве. Получено обобщение к лассической формулы для спектрального ра диуса

$$\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } g_{n,l}^{1/N} (T^N ) = (\mathop \Pi \limits_{i = 1}^n |\lambda _{i + l - 1} (T)|)^{1/n} , l,n = 1,2,...,$$

для так называемыхɛ-покрывающих моду лейg _n,l (T) дляT

$$g_{n,l} (T): = \mathop {\inf }\limits_{k = 1,2,...} k^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {2n}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {2n}}} \varepsilon _{k,l} (T).$$