Multiple trigonometric series with lexicographically monotone coefficients

Abstract

В статье рассматрива ются_n-кратные тригонометрические ряды вида

$$\mathop \Sigma \limits_{k = 1}^\infty a_k \exp (ikx),$$

((1))

гдеa _k ≧a _m , еслиk _j ≦m _j при 1≦j≦n иa _k→0 при maxk _j →∞. Для таких рядов доказ ыва1≦j≦n ется несколько теорем, обо бщающих ранее получе нные автором утверждения дляи=2. Сформулируем две из н их.

Теорема 1.Ясли 1<р<∞и ря д вида (1) есть ряд Фурье функции f (x)∈L _p ((0, 2π)ⁿ),mo

$$\mathop \Sigma \limits_{k = 1}^\infty a_k^p (k_1 ...k_n )^{p - 2}< \infty .$$

((2))

Теорема 2.Если коэффи циенты ряда вида (1) удовлетворяют услов ию (2) яри некотором р>п, то этот ряд сходит ся по Прингсхейму всю ду на (0, 2π) ⁿ,а ири р=n>1 эmо, вообще говоря, не mак.