On the approximation of periodic functions by de la Vallée Poussin sums

Abstract

Пустьf — непрерывная периодическая функц ия,s _n (f) — сумма Фурье порядкаn функцииf,E _n (f) — наилучшее прибли жениеf тригонометри ческими полиномами порядкаn в чебьппев-ской метрике и

$$\sigma _{n, m} (f) = \frac{1}{{m + 1}}\mathop \sum \limits_{v = n - m}^n s_v (f) (0 \leqq m \leqq n; n = 0, 1, \ldots )$$

— суммы Bалле Пуссена ф ункцииf Для любой последовательностиε={ε_v} (v=0, l,...),ε _v ↓0(v→∞) обозначим чер езC(ε) класс непрерывн ых функцийf, для которыхE _v (f)≦ε _v (v=0,1,...). В работе устанавли вается, что существую т абсолютные положите льные кон-стантыa ₁ иa ₂ такие, что

$$A_1 \mathop \sum \limits_{v = 0}^n \frac{{\varepsilon _{n - m + v} }}{{m + v + 1}} \leqq \mathop {\sup }\limits_{f \in C(\varepsilon )} \parallel f - \sigma _{n, m} (f)\parallel \leqq A_2 \mathop \sum \limits_{v = 0}^n \frac{{\varepsilon _{n - m + v} }}{{m + v + 1}}$$

для всех 0≦m≦n; n=0, l, ... В частн ых случаяхт=п иm=0 этот результат равноси-ле н теоремам, установлен ным ранее автором и К. И. Осколковым.