Caractérisation du module d'une fonction additive à l'aide d'une équation fonctionnelle

Résumé

SoitG un groupe abélien.

Thèorème 1:Une fonction f: G → ℝ est solution de l'équation:

$$\max \{ f(x + y),f(x - y)\} = f(x) + f(y)(x,y \in G)$$

si et seulement si: f(x) = |a(x)|, où a: G → ℝ est additive.

Théorème 2:On suppose que tout élément de G est divisible par 6. Alors f: G → ℝ est solution de:

$$\max \{ f(x + y),f(x - y)\} = f(x)f(y)(x,y \in G)$$

si et seulement si: f(x) ≡ 0 ou f(x) = exp|a(x)|, où a: G → ℝ est additive.