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Die Borel-Bricard-Bewegung mit punktweise gekoppelten orthogonalen Hyperboloiden

Über symmetrische Schrotungen VI

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Literatur

  1. Diese Monatsh. 45 (1937) S. 394–406 (“SSI”) Siehe auchJ. Krames, “Sur une classe remarquable de mouvements de l'espace. Viration symétrique”, Comptes rendus, Paris 204 (1937) 1102–1104.

  2. Zur Bricard schen Bewegung, deren sämtliche Bahnkurven auf Kugeln liegen (Über symmetrische Schrotungen II), diese Monatsh., 45 (1937) S. 407–417 (“S S II”);Zur aufrechten Ellipsenbewegung des Raumes (Über symmetrische Schrotungen III), ebenda, 46 (1937) S. 38–50 (“S S III”);Zur kubischen Kreisbewegung des Raumes (Über symmetrische Schrotungen IV), Sitzungsber. Ak. Wien, math.-nat. IIa, 145 (1937) 1. u. 2. Heft (“S S IV”) undZur Geometrie des Bennettschen Mechanismus (Über symmetrische Schrotungen V), ebenda 1. u. 2. Heft (“S S V”). Bei den Hinweisen auf diese Arbeiten bedienen wir uns in der Folge der in den Klammern stehenden Abkürzungen.

  3. “S S I”, Nr. 1, Diese Monatsh. 45 (1937) S. 394–406, (“S S I”) Satz 8.

  4. E. Müller-J. Krames, Vorlesungen über darstellende Geometrie, III. Bd. Konstruktive Behandlung der Regelflächen, Leipzig und Wien 1931, Nr. 21, Satz 2, 2a und 3. Auf dieses Werk soll kurz mit “R” verwiesen werden.

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  5. “S S III”, Nr. 2, 3. diese Monatsh.Zur aufrechten Ellipsenbewegung des Raumes (Über symmetrische Schrotungen III), ebenda, 46 (1937) S. 38–50

  6. Mémoire sur des déplacements à trajectoires sphériques, Mém. savants étrangers, Paris (2) 33 (1908) Nr. 1, S. 1–128. Siehe auch Comptes rendus Paris, 139 (1904) 1066–1070.

  7. J. Éc. Polyt. (2) 11 (1906) 1–93.-Vgl. “S S II”, Einleitung. Dort wurde bereits erwähnt, daß fast alle der von dieson Geometern behandelten besonderen Bewegungen mit sphärischen Bahnkurvensymmetrische Schrotungen sind. Für alle diese Bewegungen lassen sich nun die (noch nicht bekannt gewordenen) Achsenflächen leicht angeben, womit diese Bewegungen erst vollständig bestimmt sind. Wir kommen hierauf bei einer anderen Gelegenheit zurück.

  8. Wir benennen so dieinverse Bewegung zur allgemeinen Ellipsenbewegung des Raumes; sie wurde erstmalig von G. Darboux, Comptes rendus Paris, 92 (1881) 118–121 angegeben und ausführlicher von A. Mannheim, Comptes rendus Paris, 110 (1890) 272; J. Éc. Polyt. 60 (1890) 75–88 und A. Grünwald Z. Math. Phys. 54 (1907) 154–220, behandelt.—Vgl. “S S III”, Fußnote 7.

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  9. Siehe etwa E. Czuber, Vorlesungen über Differential-und Integralrechnung, Leipzig 1906, I. Bd., S. 370.

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  10. Vgl. H. Wieleitner, Spezielle ebene Kurven, Leipzig 1908, Nr. 58.

  11. Jede solche Kurve ist zugleich eine Fußpunktkurve der Unisekantenschar ihres Trisekantenhyperboloides, siehe L. Vietoris, Sitzsber. Ak. Wien, math.-nat. IIa, 125 (1916) 278, wo derselbe Sachverhalt für diei viermal schneidenden Raumkurven 4. Ordnung 2. Art nachgewiesen wird; vgl. auch “R”, Nr 21, Fig. 70.

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  12. E. Czuber, a. a. O., S. 370, S. 425f.— Die Lage des Doppelpunktes vonf′ ergibt sich übrigens auch nach “S S III”, Nr. 2-4, mittels einfacher darstellendgeometrischer Konstruktionen.

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  13. A. Mannheim, a. a. O., S. 84. Vgl. auch A. Grünwald, a. a. O., S. 218; hier wird auch erwähnt, daß diese Bahnkurven zugleich Fußpunktkurven von Drehyperboloiden sind. S. oben Fußnote 12.

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  14. S. A. Schoenflies, Geometrie der Bewegung, Leipzig 1886, S. 138 f; vgl. “S S II”, Fußnote 12.

  15. Liouville J. (5) 4 (1898 121–130; vgl. “S S II”, Nr. 4 und 5.

  16. Dieser Sonderfall wurde von R. Bricard bereits im Liouville J. (5)4 (1898) 409–448 ausführlich untersucht. Er behandelt dort auch die Regelfläche der Symmetrieachsen zwischen dem festen Raumsystem und den einzelnen Lagen des bewegten Systems, er erkennt jedoch u. a. nicht, daß diese Fläche ∞1 Ellipsen enthält. Am Schluß dieser Arbeit (Kap. XI) wird ein von A. Mannheim herrührender geometrischer Beweis für die Tatsache gefiefert, daß die Fußpunktkurven dieser Fläche für die Pole in derxy- undxz-Ebenesphärisch sind. Die Eigenschaft dieser Raumbewegung, daß ihre Bahnen aus den Fußpunktkurven der erwähnten Regelfläche durch zentrische Verdopplungen hervorgehen, ist damit offenbar erkannt worden. DieAchsenflächen der Bewegung und dieGrundgedanken der allgemeinen symmetrischen Schrotungen kamen jedoch nicht zur Sprache.

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  17. Dieser Sonderfall der Bewegung einer Ebene, bei der alle Punkte der Ebene sphärische Bahnkurven beschreiben, wurde von R. Bricard, a. a. O., nicht erwähnt.

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  18. Vgl. auch E. Borel, a. a. O., S. 70, und R. Bricard, a. a. O.Zur Bricard schen Bewegung, deren sämtliche Bahnkurven auf Kugeln liegen (Über symmetrische Schrotungen II), diese Monatsh., 45 (1906) S. 91.

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  1. Graz

    Josef Krames

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Krames, J. Die Borel-Bricard-Bewegung mit punktweise gekoppelten orthogonalen Hyperboloiden. Monatsh. f. Mathematik und Physik 46, 172–195 (1937). https://doi.org/10.1007/BF01792673

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