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Literatur
Über diese Verallgemeinerung des Begriffs der Meßbarkeit siehe vor allem C. Carathéodory, Über das lineare Maß von Punktmengen (Nachrichten der Kön. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Klasse 1914). In der dort gegebenen Definition der Meßbarkeit tritt daß Maß der meßbaren Menge selbst gar nicht auf.
Hiedurch wird allerdings den bisherigen zwei Bedeutungen des Wortes „meßbar” („meßbare” Punktmenge, „meßbare” Funktion) noch eine dritte hinzugefügt, doch ist die Gefahr der Verwechslung dieser drei Bedeutungen wohl ebenso gering wie die der bisherigen zwei.
Vitali, Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino, Vol. 43, 1907/08. — Lebesgue, Sur l'Intégration des Fonctions Discontinues. Annales de l'Ecole Normale Supérieure 1910 (3), T. 27, p. 361–450. In der hier gegebenen Gestalt ist der Satz zuerst von Herrn Prof. Carathéodory in seiner Vorlesung über reelle Funktionen (Göttingen S. S. 1914) ausgesprochen und bewiesen worden.
Der Satz kann übrigens auf ϑ=ϑ(P)>0 erweitert werden.
Den Durchschnitt mehrerer Mengen schreiben wir formal als Produkt.
Siehe z. B. Carathéodory, Über das lineare Maß, Satz 13.
Unter „Kreis” wird hier und im folgenden das „Innere des Kreises” verstanden.
Siehe Lebesgue, Sur l'Intégration des Fonctions Discontinues, p. 394.
Vgl. Lebesgue, Sur l'Intégration des Fonctions Discontinues, p. 406, 407, wo dieser Satz für eindimensionale Mengen bewiesen wird.
Siehe z. B. Schönflies, Entwicklung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen. Erste Hälfte Leipzig, Teubner, 1913), p. 374–378. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (Leipzig, Veit, 1914), p. 401.
Ein Punkt ist Häufungspunkt einer Menge von Intervallen, wenn jede seiner Umgebungen mindestens eines dieser Intervalle ganz enthält.
Wenn also Herr Lebesgue in seiner Arbeit „Sur l'Intégration des Fonctions Discontinues” p. 448 folgendermaßen schließt: „SoientE x ,E y deux ensembles correspondants; supposonsE x mesurable;E y l'est à cause de la continuité des formules de transformation”, so ist, wie unser Beispiel zeigt, dieser Schluß nicht einwandfrei.
Ein Intervall wird hier und im folgenden, wenn nicht ausdrücklich etwas auderes bemerkt ist, ohne Rand, also als offene Punktmenge betrachtet.
Siehe W. Alexandrow, Elementare Grundlagen der Theorie des Maßes. Dissertation, Zürich 1915.
Siehe z. B. Carathéodory, Über das lineare Maß, Satz 9.
Siehe z. B. Carathéodory, Über das lineare Maß, Satz 8.
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Von der philosophischen Fakultät Göttingen angenommene Inaugural-Dissertation.
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Rademacher, H. Eineindeutige Abbildungen und Meßbarkeit. Monatsh. f. Mathematik und Physik 27, 183–235 (1916). https://doi.org/10.1007/BF01726741
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