The index-k-stabilizing differential equation

Summary

This paper deals with the search for multiple local minima of a differentiable real-valued functionf off variables. Motivated by topological considerations much as Morse Theory — it makes sense to determine critical points¯x forn of index 1 (i.e. exactly one eigenvalue of the HessianD ² f(¯x) is negative). For eachk ∈ 0,...,n, the gradient vectorfieldDf ofn is altered — by a partial reflection — into a new vectorfieldF _K. Restricted to the critical point set off, only the critical points of indexk are attractors forF _K.

Zusammenfassung

Es wird das Problem des Auffindens mehrerer lokaler Minima einer differenzierbaren Funktion vonn Variablen betrachtet. Aus topologischen Gründen (Morse Theorie) ist es sinnvoll, kritische Punkte¯x vonf vom Index 1 (d. h. genau ein Eigenwert der Hesse-MatrixD ² f(¯x) is negativ) zu bestimmen. Für jedesk ∈ 0,...,n wird das Gradienten-VektorfeldD f vonf — durch eine partielle Spiegelung — abgeändert in ein neues VektorfeldF _K. Bezüglich der kritischen Punktmenge vonf sind dann genau die kritischen Punkte vom Indexk Attraktoren fürF _K.