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Über die Dimensionalität von Punktmengen

Erster Teil

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Literatur

  1. Im mathematischen Seminar der Wiener Universität, Frühjahr 1921.

  2. C. Jordan, Cours d'Analyse.2, Aufl. I (1893), S. 90.

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  3. N. J. Lennes, Am. Journ.,33 (1911).

  4. G. Peano, Math. Ann.,36 (1890), p. 157.

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  5. Der folgenden Arbeit ist die Terminologie von H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen, zugrunde gelegt (vgl. insbesondere Kap. I und Kap. II, §§ 6, 7). —Unter «Umgebung eines Punktes» schlechthin verstehen wir eine offene, den Punkt enthaltende Menge. Unser Begriff der zusammenhangslosen Menge ist identisch mit dem der «punkthaften» von Hausdorff (Grundzüge der Mengenlehre, 1914, p. 322) und dem des «ensemble dispersé» von Sierpiński (Fundamenta Mathematicae, II. 1921, p. 82). Die abgeschlossenen, zusammenhangslosen Mengen sind offenbar identisch mit den abgeschlossenen Mengen ohne Teilkontinuum.

  6. Nach Janiszewski (Journ. Ec. Pol. II 16, 1912. S. 100 ff.) gelten die Sätze: Eine nicht leere, in einem Kontinuum offene Menge enthält ein Teilkontinuum. Eine abgeschlossene, zusammenhangslose Menge ist in einem Kontinuum nirgends dicht. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener, zusammenhangsloser Mengen ist zusammenhangslos.

  7. Vgl. W. Sierpiński, Fund. Math. II, 1921, p. 24.

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  8. Ich verdanke dasselbe einer Mitteilung von Herrn O. Schreier. Daß ein Kontinuum desR 2, das keine Kurve ist, einen inneren Punkt enthält, ließe sich auch mit Hilfe gewisser Überdeckungssätze beweisen. Das obige Verfahren liefert aber, wie Herr Dozent L. Vietoris bemerkt hat, den allgemeineren Satz VI. Aus demselben geht hervor, daß wir für eine MengeM desR 2 die höheren Punkte schon durch die Forderung erhalten: Der Durchschnitt vonM mit der Begrenzung jeder hinlänglich kleinen topologischen Kreisumgebung soll Kontinua enthalten.

  9. Vgl. Hahn, Theorie der reellen Funktionen I, p. 136.

  10. Der obige Beweis setzt den Umstand in Evidenz, daß der höhere Punktm Häufungspunkt innerer Punkte vonM ist, ohne notwendig auch selbst innerer Punkt vonM zu sein.

  11. In den zahlreichen älteren Untersuchungen über den Begriff der Dimension, der in gleicher Weise Mathematiker und Philosophen beschäftigt hat, wird in die Definition desselben meist der Begriff der Abbildung aufgenommen. (Vgl. insbesondere die Arbeiten von L. E. J. Brouwer, Math. Ann., Bd. 70 und 71.) Dien-dimensionalen Mengen wurden als irgendwelche Aggregate von einfachenn-dimensionalen Mengen und diese wieder als topologische Bilder von Intervallen desR n definiert. Derartige Definitionen haben zunächst den Nachteil, daß eine Dimension von vornherein bloß für gewisse Klassen von Mengen definiert wird. Fréchet's Theorie der Dimensionstypen (Math. Ann. 68, 1907, S. 145), ein bedeutungsvolles Analogon zur Cantor'schen Mächtigkeitslehre, wird von diesem Einwand nicht betroffen. Ein Nachteil vom erkenntnistheoretischen Standpunkt aber, der allen Definitionen der Dimension gemein ist, die sich auf den Abbildungsbegriff stützen, besteht, wie wohl zuerst von Poincaré (Rev. de metaph. et de mor. 1912, p. 486 f.) betont wurde, darin, daß sie unserer Raumanschauung ungenügend Rechnung tragen. In mehreren erkenntnistheoretischen Schriften wurde denn auch die Dimension als etwas anschaulich unmittelbar Klares, begrifflich aber äußerst schwer Fixierbares bezeichnet. Insbesondere berührt Poincaré das Problem an zahlreichen Stellen, ohne eine restlose Lösung anzugeben. Auf eine von ihm vorgeschlagene rekurrente Definition, die Brouwer (Journ. für die reine und angewandte Mathematik,142, Heft 2) verbessert hat, sowie auf eine für unser Problem grundlegende Arbeit von Lebesgue (Fund. Math. II, 1921, S. 256), werden wir in der Fortsetzung dieser Arbeit zurückkommen.

  12. Vgl. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 1914, p. 248 f. und p. 303.

  13. Nach Abschluß dieser Arbeit, deren Definitionen und Hauptresultate bereits im Herbst 1921 bei der Wiener Akademie der Wissenschaften hinterlegt wurden, erfahre ich, daß Herr P. Urysohn aus Moskau eine ganz ähnliche Theorie der Kurven in Marburg (September 1923) vorgetragen hat, und daß die Definitionen und Resultate seiner Dimensionstheorie, die mit der oben angedeuteten gleichfalls im wesentlichen übereinstimmt, in den Comptes rendus, Sept. 1922, ohne Beweise angeführt sind.

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  1. Wien

    Karl Menger

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  1. Karl Menger
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Menger, K. Über die Dimensionalität von Punktmengen. Monatsh. f. Mathematik und Physik 33, 148–160 (1923). https://doi.org/10.1007/BF01705597

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