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Literarur
Die Axiome (A), (B), (D) sind wörtlich aus Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 1914 (S. 213), entnommen. (C) weicht von dem Hausdorffschen Axiom (C) insofern ab, als es auch Umgebungen zuläßt, welche nicht gerade nur innere Punkte enthalten. Beide sind aber im Sinne der folgenden Ausführungen „gleichwertig”. Das Axiom (E) kommt bei Hausdorff nicht vor, dafür aber zwei Abzählbarkeitsaxiome.
Im folgenden soll das Wort Bereich immer nur so viel, wie Definitionsbereich aller vorkommenden Mengen bedeuten.
Es genügt auch den Hausdorffschen Abzählbarkeitsaxiomen. Mit Hilfe dieser Umgebungen nehmen viele Sätze der Zahlentheorie eine einfache Form an. So gelten z. B. die Sätze: Die Menge der Primzahlen hat als einzige Häufungsstellen +1 und −1. Für irgend ein festes positives (ganzes)k ist die Menge der Zahlenx k (x ganz) eine perfekte Menge. Auch der Begriff der stetigen Abbildung bzw. steigen Funktion ist hiemit eingeführt.
Will man hier die Berufung auf eine spezielle Geometrie vermeiden, so setze man als Definitionsbereiche derx undy zwei Punktmengen voraus, in welchen die Axiome (A) bis (E) gelten. Umgebung eines Paares (x 0, y0) sei dann die Menge aller Punktepaare (x, y), für welchex=x 0 ist undy einer Umgebung vony 0 angehört, odery=y 0 ist undx einer Umgebung vonx 0 angehört.
Ähnlich wie unter 4) kann man auch hier die Berufung auf die Arithmetik vermeiden, indem man als Bereiche für diex undy zwei (fremde) Mengen voraussetzt, in welchen (mindestens) die Axiome (A) bis (D) gelten. Ist dann (x 0, y0) irgend ein Punkt des Produktes der beiden und sindUx 0 undVy 0 in ihnen Umgebungen vonx 0 undy 0, dann sei das ProduktUx 0.Vy0, vermindert um alle darin enthaltenen Punkte (x,y), für welchex≡x 0,y≠y 0 ist, als Umgebung von (x 0y0) definiert.
Für alle diese Beispiele sind die Hausdorffschen Abzählbarkeitsaxiome erfüllt, so daß insbesondere das letzte Beispiel zeigt, daß (E) aus dem Hausdorffschen Axiomensystem nicht folgt. Umgekehrt folgen die Abzählbarkeitsaxiome auch nicht aus obigem Axiomensystem, wie durch ein später gegebenes Beispiel gezeigt werden wird.
Hausdorff a. a. O. Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 260.
Die Definition des Häufungspunktes höherer Ordnung (Verdichtungspunkt) spielt in den folgenden Ausführungen nur gelegentlich eine Rolle.
Rieß F., Atti del IV congresso dei Matematici, Roma 1908, Bd. 2, S. 18–24.
(IV) habe ich aus einer Vorlesung des heuer verstorbenen Prof. Dr. W. Groß.
Die am Ende mancher Sätze in Klammern beigesetzten Buchstaben und Nummern bedeuten die Axiome und Sätze, aus denen der davorstehende Satz folgt.
Demnach käme zu den drei Arten, die Punktmengenlehre zu begründen, welche Hausdorff (S 210, 211) erwähnt, noch die auf Grund der durch (IV) ergänzten Rießschen Axiomatik des Häufungspunktes.
Der Begriff des Aneinandergrenzens zweier Mengen ist infolge dieser Eigenschaften ein Verkettungsbegriff nach F. Rieß (a. a. O.). —.
Leider sind für diese Begriffe noch keine allgemein gebräuchlichen Bezeichnungen eingeführt.
Dieser Begriff findet sich in etwas anderer Form bei N. J. Lennes, (Am. J. of Math. 33, 1911, S. 303) als „connected set”. Hausdorff bringt ihn a. a. O., Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 244 als „zusammenhängende Menge”. Mir scheint der Ausdruck stetig, neben dem man das Cantorsche „zusammenhängend” verwenden kann, die beste Bezeichnung zu sein, weil unser Begriff die Dedekindsche Stetigkeit linearer Mengen als Sonderfall enthält. Die bei Hausdorff und Lennes bewiesenen Sätze dürfen wir natürlich verwenden. Als erster scheint Jordan (Cours d'analyse, 2. Aufl., I, § 31) die Spaltung einer nicht linearen Menge in zwei Komplementärmengen zur Definition einer Zusammenhangseigenschaft verwendet zu haben, indem er eine abgeschlossene Menge dann zusammenhängend nannte, wenn sie nicht in zwei abgeschlossene elementfremde Teile zerfällt. Dadurch wurde gezeigt, daß der Begriff des Zusammenhanges von jedem Maßbegriff unabhängig ist. Überhaupt läßt sich zu jedem Verkettungssystem (Fußnote 13) eine Zusammenhangsdefinition geben, indem man von einer zusammenhängenden Menge verlangt, daß je zwei komplementäre Untermengen miteinander verkettet sein sollen. Diese Möglichkeit scheint Rieß a. a. O. Rieß F., Atti del IV congresso dei Matematici, Roma 1908, Bd. 2, S. 18–24 entgangen zu sein, da er dort behauptet, Zusammenhangseigenschaften könnten mit Hilfe des Begriffes der Verdichtungsstelle (des Häufungspunktes) nicht vollständig beschrieben werden. Es ist ganz interessant. daß schon im XIV. Jahrhundert Bradwardinus (Zeitschr. f. Math. Phys. XIII. Suppl.) definiert: „Continuum est quantum cujus partes ad invicem copulantur”. Freilich sagt er nicht, was er unter copulari versteht, und außerdem beschränkt er es nicht auf je zwei Komplementärmengen, sondern auf irgend welche fremde Teilmengen. Dieser Schritt ist es gerade, was auch bei Rieß a. a. O. Rieß F., Atti del IV congresso dei Matematici, Roma 1908, Bd. 2, S. 18–24. fehlt.
Dasselbe gilt bezüglich des bei Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, 1918, definierten Zusammenhangs offener (d. i. nur innere Punkte enthaltender) Mengen.
Hausdorff a. a. O. Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 247.
Hausdorff a. a. O. Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 260.
Hausdorff a. a. O. Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 260.
Versteht man unter einem solchen Dreieck wie die projektive Geometrie einen von den vier Dreiecksquadranten, in welche drei Gerade die projektive Ebene zerlegen, so ist das so definierte Umgebungssystem samt allen Folgerungen projektiv und daher durch Dualität auf den Bereich der Geraden der Ebene übertragbar. Die Analoga für das Bündel und den dreidimensionalen Punkt- und Ebenraum liegen auf der Hand. Analog kann man im Bereich der Geraden des Raumes als Umgebung einer GeradenG die Menge aller Geraden verstehen, welche die Ebenen eines Tetraeders, dessen (unbegrenzt gedachte) KantenG nicht treffen, in denselben vier der 16 Dreiecksquadranten schneiden, welche durch die sechs Kanten gebildet werden. Die Definitionen für mehrdimensionale Räume sind analog. Wir erhalten dadurch sämtliche Grundgebilde der projektiven Geometrie als Mengen und Bereiche, für welche alle Überlegungen dieser Arbeit zutreffen. Die genaue Durchführung des skizzierten Gedankenganges, insbesondere der Beweis, daß für die definierten Umgebungen die Axiome (A) bis (E) gelten, ist freilich eine Arbeit für sich, für welche aber die Grundlagen z. B. in Vahlen, Abstrakte Geometrie, vorhanden sind.
Hiemit ist der Anschluß an die Definition von Lennes erreicht. Diese lautet: „A continous simple arc connecting two pointsA andB, A≠B, is a bounded (geschränkt), closed (abgeschlossen), connected (stetig) set of point [A] containingA andB such that no connected proper subset of [A] containsA andB.” Hier wird also verlangt, was wir in (7) und (7a) erst beweisen mußten. Für allgemeine Bereiche hat der Begriff des einfachen Bogens keinen Sinn. Denn Abgeschlossenheit ist ein Relativbegriff (Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 240) und nur dann eine Eigenschaft einer Menge, wenn über den Bereich (bei Lennes=geschränkter, abgeschlossener Teil einer Ebene) gewisse Voraussetzungen gemacht werden. Der Begriff des Linienstücks dagegen ist kein Relativbegriff. Außerdem geht die Abgeschlossenbeit (auch bei Lennes) in die Beweise, welche zu führen sind, sehr spät wesentlich ein. Ein Vorteil unserer Definition ist es auch, daß sich in ihr die Irreduzibilitätsforderung genau auf den Inhalt des positiven Teiles der Definition bezieht. Einfache Bögen werden wir erst betrachten, wenn wir über den Bereich engere Voraussetzungen gemacht haben. Der Gedanke des irreduziblen Kontinuums, der von Lennes zuerst in seiner Dissertation (Chicago 1907) gefaßt worden ist, ist auch von L. Zoretti (La notion de ligne. Ann. de l'Ecole Normale 26 [1909] und Contribution à l'étude des lignes Cautoriennes. Acta Math. 36 [1912] behandelt worden. Zoretti verwendet aber in der Definition seines irreduziblen Kontinuums statt der Stetigkeit die Cantorsche Kontinuität, d. i. Zusammenhang und Abgeschlossenheit, und zwar ebenso im positiven, wie im negativen Teil der Definition. Dadurch ist sein irreduzibles Kontinuum zunächst ein zu weiter Begriff und eine natürliche Ordnung der Punkte desselben nicht vorhanden. Um diese zu erhalten, setzt er noch den Zusammenhang im kleinen im Sinne Hahns (Jahresber. d. deutsch. Math. Ver., Bd. 23 [1914] und Sitzgsber. Wien. Ak., Bd. 123 [1914], IIa, S. 2433) voraus, eine Eigenschaft, welche Lennes für seinen einfachen Bogen beweist. Mit dem Begriff Zorettis befassen sich auch die Arbeiten von Janiszewski [Sur le continus irréductibles entre deux points. J. de l'Ec. Pol. (2) 16 und Demonstration d'une propriété des continus irréductibles entre deux points. Krakau, Anz. (A) 1912].
Diese ist wohl zu unterscheiden vom „ordre naturel” der angeführten französischen Arbeiten, das soviel wie Zusammenhang im kleinen, nur angewendet auf die speziellen, vorkommenden Mengen bedeutet.
Die Umkehrungen dieser Sätze gelten, wieS 4 zeigt, nicht immer.
Die Hausdorffschen Axiome (E) und (F) schließen die folgende Möglichkeit aus. Eben deshalb erscheinen sie mir aber als zu eng.
Math. Ann., Bd. 21, S. 552, § 4.
Hausdorff a. a. O. Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 72.
Zufolge der Dedekindschen Definition der irrationalen Punkte, welche wir für das Kontinuum [0, 1] voraussetzen.
Für lineare Mengen allgemein übliche Begriffe.
a. a. O Für lineare Mengen allgemein übliche Begriffe S. 86.
Vgl. den Begriff des Ringes bei Hausdorff a. a. O. Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 14.
In entsprechender Weise wollen wir auch von uneigentlichen Häufungspunkten einer Menge zweiter Ordnung sprechen. Grenzpunkte lassen sich auch für bloß teilweise geordnete Mengen definieren, führen aber dann zu sehr verwickelten Verhältnissen.
Grenzpunkte und Grenzmengen sind für Mengenfolgen von P ainlevé (“point limite desE n”=teilweiser Grenzpunkt der Folge {E n} vgl. Encycl des sc. math. II2, p. 145) und von Hausdorff (“\({}_\mathfrak{n}\overline {\lim } \) sup=oberer abgeschlossener Limes”=obere und “\({}_\mathfrak{n}\overline {\lim } \) inf=unterer abgeschlossener Limes”=untererGrenzmenge) definiert worden. Andere verwenden ähnliche Begriffe, sämtlich für abzählbare Mengen. Da nun bei diesen fast überall, wo sie auftreten, die (abzählbare) Ordnung mit ihnen schon gegeben ist, sind diese Begriffe zugleich Spezialisierungen unserer Ableitung und (oberen oder unteren) Grénzmenge.
Nur für Bereiche ist unsere Lückenlosigkeit eine Verallgemeinerung der Schoenfliesschen Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, 2, Teil [1908], S. 281). Trotzdem wähle ich den Ausdruck lückenlos, weil ich für allgemeine (nicht lineare) Mengen eine Definition der Lücke plane, welche diese Bezeichnung rechtfertigt, indem nach ihr in einer lückenlosen Menge eben keine Lücke vorkommen soll.
Schoenflies, Entwicklung ...— 1913, S. 234.
Dagegen sind sämtliche Grundgebilde der projektiven Geomtrie bei Voraussetzung der in Fußnote 19 angedeuteten projektiven Umgebungssysteme lückenlos.
Die Sätze (22), (23) zeigen unseren lückenlosen Bereich als eine Verallgemeinerung des vollständigen Raumes bei Hausdorff a. a. O. Grundzüge der Mengenlehre, 1914, S. 315 und 318 ff., eine Bemerkung, welche wir noch einigemal machen werden. Dies hängt damit zusammen, daß aus dem Bestehenvon (22), (23) oder (24), die auseinander abgeleitet werden können, umgekehrt die Lückenlosigkeit des Bereiches gefolgert werden kann. Angenommen z. B., (22) gelte in einem Bereich.\(\mathfrak{M}\) sei eine geordnete Menge desselben ohne letztes Element mit den RestenR. Sind dieR′ die Ableitungen derselben, so ist die Menge derR+R′ eine Menge von ineinander geschachtelten abgeschlossenen Mengen, hat also laut Voraussetzung einen echten abgeschlossenen DurchschnittG. Jeder Punktg vonG ist Punkt oder Häufungspunkt jedes Restes von\(\mathfrak{M}\), d. h. (teilweise oder gänzlicher) Grenzpunkt von\(\mathfrak{M}\).
Vgl. den Satz bei Hausdorff a. a. O. Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 344: VII. Zwei Punkte, die verschiedenen Komponenten der beschränkten, abgeschlossenen MengeH angehören, lassen sich durch ein PolygonP trennen, dasH nicht trifft. IstH...”
Für weniger allgemeine Bereiche findet sich dieser Satz bei Hausdorff a. a. O., Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 302, X, und Zoretti, Encycl. sc. matb. II2, p. 145.
Vgl. Painlevé, C. R. Paris 148 (1909), p. 1156.
Der entsprechende Satz bei Hausdorff (a. a. O. Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 303) lautet: “Bei einer kompakten abgeschlossenen Menge sind Komponenten, Quasikomponenten und Nullkomponenten identisch.”
Vgl. Fußnote 20.
Vgl. Hahn, Sitzgsber. Ak. Wien 123 (1914, S. 2444, Satz VIII.
Lennes, a. a. O.,
Es ist eine (zum Bereich) nirgendsdichte (Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 1914 S. 251), perfekte Punktmenge.
Diese Betrachtung hättesich auch an den etwas komplizierteren für einen anderen Zweck gegebenen Beispielen von L. E. J. Brouwer (Zur Analysis Situs. Math. Ann. 68 (1910), S. 422 und dem Beispiel 6 von Janiszewski (Journ Ec. Pol. 16 (1912), S. 114) anstellen lassen. Für dieses hätte man eine andere Orientierung erhalten, in welcher die oben wesentlich benützten Punktex, für welchea‖x‖b gilt, nichtso leicht aufzuzeigen wären.
Vgl. Schoenflies, Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten 2. Teil [1908], S. 121.
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Die Arbeit ist in den Jahren 1913–1919, zum größten Teil im Felde entstanden und im Dezember 1919 in Wien als Doktordissertation eingereicht worden.
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Vietoris, L. Stetige Mengen. Monatsh. f. Mathematik und Physik 31, 173–204 (1921). https://doi.org/10.1007/BF01702717
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01702717