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References
Bezüglich dieser von A. Pringsheim eingeführten Bezeichnungsweise vgl. Encykl. I A 3, Nr. 45; Enc. (éd. franç.) t. I, vol. 1 (I 4, 26).
Seidel, Habilitationsschrift, München 1864. Vgl. Enc. I A 3, Anm. 378.
Vgl. L. Saalschütz, Journ. f. Math. 120, S. 138, und A. Pringsheim, Sitzungsber. d. bayer. Akad., math. phys. Kl., 29 (1899), S. 261.
Sitzungsber. d. bayer. Akad. 28 (1898). (Über die Convergenz unendlicher Kettenbrüche, § 3.)
Monatshefte f. Math. u. Phys. 14 (1903) und Sitzungsber. d. Wien. Akad., math. phys. Kl., 117, S. 27.
d. i. Kettenbrüche mit positiven Teilnennern und abwechselnd positiven und negativen Teilzählern (wohl zuerst von Stern, Journ. f. Math. 10, S. 370, Nr. 59, betrachtet); derselbe Name in anderem Sinne gebraucht von A. E. Kennelly, Ann. of math., 2. ser., 9.
Diese geometrische Deutung für den speziellen Fall der regelmäßigen Kettenbrüche bei F. Klein. (Autogr. Vorlesung über: Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie, Göttingen 1895/96, ausgearbeitet von A. Sommerfeld und Ph. Furtwängler, I., S. 17.)
Im besonderen sind die Halbstrahlenp 0,s 0 durch die Relationen (5) (s. unten) gegeben.
Vgl. hiezu den in den Math. Ann. erscheinenden Aufsatz “Über Kriterien der Konvergenz und Irrationalität unendlicher Kettenbrüche” (speziell § 5).
In diesem Falle werden von einer die “engeren” (gegenüber den bisherigen “weiteren” Voraussetzungen erfüllenden Winkelfolge gesprochen.
Die Zahlenk ν undh ν geben die Länge vonT *ν−1 P *ν bezw.P *ν S *ν an, gemessen mitO P *ν− als Einheit.
Vgl. Enc. I A 3, Nr. 45, S. 121; Enc. éd. franç., t. I. vol. 1. (art. I 4), p. 286. Geometrisch gesprochen heißen zwei Kettenbrüche äquivalent, wenn die Folge der GeradenO P ν für beide Kettenbrüche dieselbe ist.
Die Indizes inC, D sind übrigens eo ipso ≧1.
Über projektive Bedeutung von Bestimmungsstücken des Kettenbruchalgorithmus vgl. noch § 9 des im § 1 genannten Aufsatzes in den Math. Ann.
Über die einschlägigen Arbeiten von Seidel und Stern und das allgemeinere Stolzsche Divergenzkriterium (vgl. unten) s. Enc. I A 3 (Pringsheim) Anm. 381, 382; Enc. (édit. franç.) t. I, vol. I (I 4), pag. 297.
Vgl. Enc. I. A 3, S. 128, unter (95); Enc. (éd. franç.) I 4, pag. 296 (69). Das Kriterium wird durch äquivalente Umformung des Kettenbruches aus Satz 1 erhalten.
Vgl. Pringsheim, Sitzungsber. d. bayr. Akad., 29 (1899).
Diese Bedingungen sind nur eine andere Schreibweise für (1).
Sitzungsber. d. bayr. Akad., math. phys. Klasse, 35 (1905) S. 364, 365.
ebenda Sitzungsber d. bayr. Akad., math. phys. Klasse, 29 (1899) S. 268.
Die a. a. O. aufgestellte Konvergenzbedingung setzt nurb ν≧ka ν (k>0) au Stelle vonb ν≧a ν voraus. Die Konvergenz im Falleb ν≧ka ν , Σb ν divergent (Enc. I A 3, Nr. 49) ist hievon ein Spezialfall.
a. a. O. (s. Einleitung). Die a. a. O. aufgestellte Konvergenzbedingung setzt nurb ν≧ka ν (k>0) an Stelle vonb ν≧a ν voraus. Die Konvergenz im Falleb ν≧ka ν , Σb ν divergent (Enc. I A 3, Nr. 49) ist hievon ein Spezialfall.
Damit ist das Gmeinersche Kriterium:e ν≧0, Σe ν divergent (Monatshefte a. a. O., f. Math. u. Phys. 14 (1903) Satz 5) mit Ausschluß der Fälle, in denen verschwindendee ν auftreten, wiedergewonnen.
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Tietze, H. Einige Kettenbruch-Konvergenzkriterien. Monatsh. f. Mathematik und Physik 21, 344–360 (1910). https://doi.org/10.1007/BF01693231
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