Zusammenfassung
Durch das Theorem der arithmetischen und geometrischen Mitte kann man den maximalen Wert des Produktes von Variablen, die einer linearen Beschränkung unterworfen sind, feststellen. Die vorliegende Arbeit untersucht einige einfache Versionen des Theorems. Die allgemeinste Version ergibt den maximalen Wert des Produktes vonn Variablen, wenn jede Variable zu einer höheren Potenz erhoben wird und die Variablen einer Gruppe vonr linearen Beschränkungen unterworfen sind (r<n). Das Theorem wird dann auf das Problem des maximalen totalen Druckwiedergewinns über einem Stosswellensystem angewandt und schliesslich wird daraus ein ziemlich allgemeines Theorem über das adiabatische Fliessen eines Gases hergeleitet.
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Abbreviations
- a ij :
-
given positive constants
- b :
-
\(\frac{{\gamma ^2 + 1}}{\gamma }\),
- f i :
-
\(\frac{{\gamma + 1}}{{\gamma - 1}}\frac{{y_i - 1}}{{y_i }}\),
- g i :
-
\(\frac{{\gamma - 1}}{{\gamma + 1}}\frac{1}{{(k{\mathbf{ }}y_i - 1)}}\),
- h :
-
\(\frac{{\left( {\gamma - 1} \right){\mathbf{ }}M_{n - 1}^4 + (5 - \gamma )/2{\mathbf{ }}M_{n - 1}^2 - 1}}{{\left( {3{\mathbf{ }}\gamma + 1} \right)/\gamma {\mathbf{ }}M_{n - 1}^2 - 1}}\),
- k :
-
\(\frac{{4{\mathbf{ }}\gamma }}{{{\mathbf{ }}\left( {\gamma + 1} \right)^2 }}\),
- m :
-
the arithmetic mean ofn variables, see Equation (2)
- M :
-
the Mach number
- n :
-
the number of variables
- P T :
-
the total pressure
- q :
-
the geometric mean ofn variables, see Equation (1)
- r :
-
the number of constraining conditions on the function to be maximised
- R :
-
the gas constant
- S :
-
the entropy
- x i :
-
\(1 + \frac{{\gamma - 1}}{2}{\mathbf{ }}M_i^2\) for the Oswatitsch analysis, otherwisex i represents any variable
- y i :
-
\(1 + \frac{{\gamma - 1}}{2}{\mathbf{ }}M_i^2 \sin ^2 W_i\)
- γ:
-
ratio of specific heats
- λ j :
-
Lagrange multiplier
- φ i :
-
given positive constant
- W i :
-
shock wave angle of (i−1)th shock
References
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Le Henderson, R.F. The theorem of the arithmetic and geometric means and its application to a problem in gas dynamics. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP) 16, 788–803 (1965). https://doi.org/10.1007/BF01614106
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01614106