Singular perturbation analysis of a certain volterra integral equation

Abstract

An investigation is made of the asymptotic behavior of the solutionu(t;ε) to the Volterra integral equation

$$\varepsilon u(t;\varepsilon ) = \pi ^{ - \tfrac{1}{2}} \int\limits_0^t {(t - s)^{ - \tfrac{1}{2}} [f(s) - u^n (s;\varepsilon )]} ds, t \geqslant 0, n \geqslant 1$$

, in the limit as ε→0. This investigation involves a singular perturbation analysis. For the linear problem (n=1) an infinite, uniformly valid asymptotic expansion ofu(t;ε) is obtained. For the nonlinear problem (n≥2), the leading two terms of a uniformly valid expansion are found

Zusammenfassung

Das asymptotische Verhalten der Lösung der Volterraschen Integralgleichung

$$\varepsilon u(t;\varepsilon ) = \pi ^{ - \tfrac{1}{2}} \int\limits_0^t {(t - s)^{ - \tfrac{1}{2}} [f(s) - u^n (s;\varepsilon )]} ds, t \geqslant 0, n \geqslant 1$$

, wird im Grenzfalle ε→0 mittels einer singulären Perturbationsanalyse untersucht. Für das lineare Problem (n=1) wird eine unendliche, gleichmässig gültige, Entwicklung erhalten, während für das nichtlineare Problem (n≥2) die zwei ersten Glieder der Entwicklung berechnet werden.