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Literatur
H. J. Reiter, Investigations in Harmonic Analysis, Trans. Amer. Math. Soc.73, 401–427 (1952); diese Arbeit wird als bekannt vorausgesetzt.
T. Carleman, L'intégrale de Fourier et questions qui s'y rattachent, Uppsala 1944;A. Weil, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Paris 1940 (2e éd. 1953).
Zur Veranschaulichung wird es gut sein, Funktionen einer reellen Veränderlichen zu betrachten: Man nehme in Satz 1 einfach fürG die additive Gruppe der reellen Zahlen und fürg z. B. die Untergruppe der ganzen Zahlen.
Diese Bezeichnung weicht von der früheren1 etwas ab.
Diese Funktion ist nur aufg definiert. Für die Definition und einige Eigenschaften, die im Folgenden benutzt werden, siehe die in Fußnote1 zitierte Arbeit (die Funktion ist dort mitm −1 (S)S (x) 2 bezeichnet).
sgnz=z/|z| für 0<|z|<∞; sonst sgnz=0.
Siehe S. 41 des Buches vonA. Weil 2.
Im Falleg=G ist übrigens ϕ (x) sogar eine exakte Lösung.
Die Zahl ε ist während der ganzen Untersuchung fest.
Vgl. den Beweis von Satz IV auf S. 303 beiH. Hahn, Theorie der reellen Funktionen I, Berlin 1921. Die Konvergenz ist sogar gleichmäßig auf jeder kompakten Menge (Satz von Ascoli), doch brauchen wir das hier nicht.
Vgl. die in1 zitierte Arbeit, S. 404–405, Formel (ii), und den Beweis von Lemma 2.1.1, S. 418.
Für eine ähnliche Methode vgl. S. 194–195 in der Arbeit vonA. M. Gleason, Groups without small subgroups, Ann. of Math.56 (2), 193–212 (1952).
Vgl. S. 176, Eigenschaft b) und Seite 175.
Vgl. S. 177.
Man braucht in der Definition vonI o (g) nicht alle Funktionen inI (g) zu nehmen, sondern könnte sich wie früher1 auf ein “Erzeugendensystem” (in Bezug aufg) beschränken, wo also — in leicht verständlicher Schreibweise —I (g)=(f, h, ...) (g) ist. Der Beweis wird dann nur unwesentlich länger und ist ähnlich zu führen wie a. a. O.1.
Dieser Band, S. 73–76. Dabei wird natürlich ein Beweis vonA. Weil benutzt (vgl. den Schluß des Beweises1 von Theorem 1.3). Übrigens wird es bequem sein, in Teil I die BezeichnungenK undK 0 zu vertauschen.
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Reiter, H. Über L1-Räume auf Gruppen II. Monatshefte für Mathematik 58, 172–180 (1954). https://doi.org/10.1007/BF01579187
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01579187