The characterization of linear viscoelastic behaviour by respondance functions. Stress circuit theory

Summary

A method is developed which allows the application of the operational tools used in electric circuit theory directly to the solution of mechanical and rheological problems without recourse to electromechanical analogies. Generalised respondance functions are defined from Q(s) e(s) = σ(s) and U(s) σ(s) = e(s) where Q(s) and U(s) are the (generalised) relaxance and retardance, functions and e(s) and σ(s) are the Laplace transforms of the shear strain and the shearing stress. The rheological model is regarded as part of a stress circuit diagram. Using the combination rules: relaxances add in parallel, retardances add in series, the respondance functions for any given model can be found immediately by applying the methods of “node analysis” to the stress circuit diagram. The relation of the respondance functions to the other methods for characterizing linear viscoelastic behaviour is discussed. These considerations lead to the definition of some new functions, the most important of which are the relaxation coefficient η(t) and the creep fluidity ϕ(t), the time-dependent analogues of the frequency-dependent complex viscosity η(w) and complex fluidity η(w). The paper is concluded by a demonstration of the usefulness of the respondance function method in the treatment of the mathematics of rheological apparatus.

Zusammenfassung

Es wird eine Methode entwickelt, welche die unmittelbare Anwendung der in der Theorie des elektrischen Stromkreises gebrÄuchlichen Operatorenmethoden zur Lösung mechanischer und rheologischer Probleme ohne den Umweg über den analogen elektrischen Stromkreis gestattet. Verallgemeinerte Respondanzfunktionen, die (verallgemeinerte) Relaxanzfunktion Q(s) und die (verallgemeinerte) γetardanzfunktion U(s) werden durch die Gleichungen Q(s) e(s) = σ(s) und U(s) σ(s) = e(s) eingeführt, in welchen σ(s) und e(s) die Laplaceschen Transformationen der Spannung und der Verformung darstellen. Das rheologische Modell wird als Bestandteil eines Spannungskreisdiagrammes betrachtet. Mit Hilfe der Kombinationsregeln: Relaxanzen werden in Parallelschaltung, Retardanzen in Serienschaltung addiert, kann die Respondanzfunktion eines beliebigen Modells unter Anwendung der Methode der Knotenpunktanalyse an das Spannungskreisdiagramm direkt niedergeschrieben werden. Die Beziehungen der Respondanzfunktionen zu den für die Charakterisierung des linearen viskoelastischen Verhaltens üblichen Funktionen werden diskutiert. Diese Betrachtungen führen zur Definition einiger weiterer neuer Funktionen, unter welchen der Relaxationskoeffizient η(t) und die KriechfluiditÄt ϕ(t), die zeitabhÄngigen Analoga der frequenzabhÄngigen komplexen ViskositÄt η(w) und komplexen FluiditÄt ϕ(w), die wichtigsten sind. Zum Schlu\ wird die Nützlichkeit der Respondanzfunktionsmethode für die mathematische Behandlung rheologischer GerÄte an Hand von Beispielen erlÄutert.