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Literatur
Vgl. die im folgenden als “Beiträge I” zitierte Abhandlung in Math. Ann.88 (1923), S. 290.
Beiträge zur allgemeinen Topologie III, Monatsh. f. Math. u. Phys.33 (1923).
Als drittes Beispiel möge etwa die nach vorheriger eineindeutiger stetiger Abbildung der ξ-η-Ebene auf das Innere eines reellen KegelschnittesC 2 (hyperbolische nicht-euklidische Ebene) vorzunehmende Ergänzung-gleichfalls zur projektiven Ebene-angeführt werden, die durch Hinzunahme der unendlich fernen und der idealen Punkte (auf und außerhalb derC 2) bewirkt wird.
Über die Definition des Häufungspunktes für allgemeine “topologische Räume” vgl. Beiträge I, Nr. 2.
Zur Terminologie vgl. auch Nr. 14.
Mit anderen Worten: Die Menge\(\Re ^ * - \Re\) der eingeführten uneigentlichen Elemente ist “in\(\Re ^ *\) abgeschlossen”. Vgl. Beiträge I, Nr. 2 und 6; zur Terminologie 1. c. 5)Zur Terminologie vgl. auch Nr. 14. Die Forderung 2 ist ein wesentliches Merkmal, durch welches die hier betrachteten Ergänzungen eines Raumes sich von anderen Ergänzungen unterscheiden, wie sie z. B. die Hinzunahme irrationaler Punkte zum Raum aller rationalen Punkte darstellt [allgemein die Erweiterung zu einem “vollständigen Raum”, Hausdorff (Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 315].
“Umgebende Menge” s. Beiträge I, Nr. 5.
Nach Fréchet, Rend. del Circ. Mat. di Palermo22 (1906), S. 6.
Für die Definition von “zusammenhängend”, “in einem Punkte zusammenhängend” und “Komponente” vgl. Beiträge I, Nr. 6. Wie leicht zu sehen, kann ein Raum nicht-zusammenhängend und zugleich in jedem Punkt zusammenhängend sein.
Näheres vgl. Nr. 16, 17.
Vgl. Beiträge I, Nr. 5.
1. c. 6)Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 263, 272. Das “erste Abzählbarkeitsaxiom (E)”, das eine, schwächere Forderung als (F) darstellt, kann hier übergangen werden.
Z. B. wird in der ξ-η-Ebene eine solche Menge von Mengen Ū gebildet von der Menge aller Kreisflächen (ξ−ξ0)2+(η−η0)2−ϱ 20 <0 mit rationalen ξ0, η0, ϱ0. Vgl. Hausdorff, 1. c. 6)Grundzüge der Mengenhlehre (1914), S. 262.
In einer der letzten Arbeiten des, als ein Opfer der Kriegszeit, allzu früh der Wissenschaft entrissenen W. Groß (Sitzungsber. d. Wiener Akad. 123 (1914), S. 810) wird die Gültigkeit dieses Satzes, ohne Heranziehung eines Abzählbarkeitsaxiomes, fürbeliebige metrische Räume bewiesen. Vgl. hierzu, sowie bezüglich Nr. 9, Aussage (K) bei H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen, I (1921), die Sätze I (S. 89) und II (S. 90).
\(\Re\) ist dann absolut-kompakt (s. Nr. 7) und also auch in\(\Re ^ *\) kompakt.
Statt des Axioms (\(\bar F\)) genügt es, das weniger fordernde Hausdorffsche “erste Abzählbarkeitsaxiom (E)” für\(\Re ^ *\) vorauszusetzen. Vgl. Hausdorff, l. c.6), Grundzüge der Mengenlehre S. 264.
Es gibt Mengen Ūα(x *). Denn aus jeder Ū (x *) erhält man durch Hinzunahme ihrer Häufungspunkte in\(\Re\) eine Ūα(x *). (Ūα(x *) ist dann die abgeschlossene Hülle von Ū(x *) in\(\Re\), also in\(\Re\) abgeschlossen: vgl. Beiträge I, Nr. 2 und Hausdorff, l. c.6), Grundzüge der Mengenlehre S. 223).
Vgl. auch L. Vietoris, Monatshefte f. Math. u. Phys.31, (1921), S. 183.
Vgl. Hausdorff, l. c. Grundzüge der Mengenlehre, S. 125.
Vgl. Hausdorff, l. c. Grundzüge der Mengenlehre, Kap. IV, § 7, S. 99.
Vgl. Hausdorff, l. c. Grundzüge der Mengenlehre, Kap. V, § 5, Satz II, S. 129.
Vgl. Hausdorff, l. c. Grundzüge der Mengenlehre, S. 273.
Vgl. Hahn,l c. 14), S. 61, sowie Math. Zeitschr.5 (1919), S. 288, Anm. 9
Vgl. Study, Geometrie der Dynamen (1903), S. 248. Im gleichen Sinne wird “abgeschlossen” verwendet bei L. E. J. Brouwer, Math. Ann.71 (1911), S. 98. Ebenda das Wort “offen” für nicht-absolutkompakt; desgleichen bei Weyl, l. c. 32), S. 24 (“offene Fläche”).
Beiträge I, Nr. 6.
Vgl. Satz 1 der “Beiträge III”, Monatshefte f. Math. u. Physik33 (1923).
Zur Abkürzung bezeichnen wir mit Ū(x|\(\Re\)) eine den Punktx im Raum\(\Re\) umgebende Menge.
Satz 6 läßt sich auch direkt beweisen, indem man genau wie beim Beweis von Satz 1 verfährt, auch\(\Re\) wie dort konstruiert, und nur, wenn\(\Re ^ *\) nicht zusammenhängend ist, den Teil des Beweises streicht, der das Zusammenhängendsein von\(\Re\) betrifft. (Bei solcher Erweiterung kann die Voraussetzung,\(\Re\) sei in jedem Punkt zusammenhängend, entbehrt werden.)
Die Beschränkung auf Räume\(\Re\), die in jedem Punkt zusammenhängend sind, kann hier entfallen, da der folgende Beweis, bei dem ich von einer freundlichen Mitteilung von Herrn Hahn Gebrauch mache, keine solche beschränkende Annahme benutzt.
Vgl. Jahresber. Deutsch. Math. Ver.29 (1920), S. 103.
Weil\(\Re\) in\(\Re ^ *\) offen sein soll.
Im Beispiel Anm. 3) nur Forderung 5, nicht aber 6.
D. h. auf einer Fläche, die aus einer endlichen Anzahl von Dreiecken durch paarweise Zuordnungen der Dreiecksseiten entsteht, wobei jede Seite genau einer anderen zugeordnet ist; vgl. etwa Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche (1913), S. 23, 24.
D. h. eine abgeschlossene Menge, die keine offene Menge als Teil enthält.
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Tietze, H. Beiträge zur allgemeinen Topologie. II. Über die Einführung uneigentlicher Elemente. Math. Ann. 91, 210–224 (1924). https://doi.org/10.1007/BF01556079
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01556079