The slow motion of a sphere in a second-order fluid

Summary

The slow motion of a rigid sphere in a viscoelastic fluid is studied. Variations of the velocity gradient of the undisturbed fluid motion over the dimension of the sphere are neglected. Considering only rheologically slow flows the equations of a second-order fluid are employed. The resulting hydrodynamic force and couple are calculated and shown to be fundamentally different from the corresponding results in a Newtonian fluid: for the force a coupling is found not only for translation and rotation but also for translation and a pure straining motion. For the torque only a coupling between rotation and a pure straining motion exists. It is demonstrated that by means of this coupling the two material parameters can be obtained individually. Furthermore any lateral migration of a sphere in a vertical Poiseuille flow would immediately unmask the fluid as a non-Weissenberg fluid.

Zusammenfassung

Diese Untersuchung befaßt sich mit der langsamen Bewegung einer starren Kugel in einer viskoelastischen Flüssigkeit. Jegliche Variation des Geschwindigkeitsgradienten der ungestörten Strömung wird vernachlässigt. Auf Grund der Beschränkung auf rheologisch langsame Strömungen werden die Gleichungen einer Flüssigkeit zweiter Ordnung angewendet. Die sich daraus ergebende hydrodynamische Kraft und das Drehmoment werden berechnet, wobei sich zeigt, daß sich diese Ausdrücke von denen in einer newtonschen Flüssigkeit wesentlich unterscheiden: Für die Kraft tritt nämlich nicht nur eine Kopplung zwischen Translation und Rotation, sondern auch eine solche zwischen Translation und reiner Dehnströmung auf. Beim Drehmoment existiert nur die Kopplung von Rotation und reiner Dehnströmung. Es wird gezeigt, daß sich auf Grund dieser Kopplungen die beiden Stoffkonstanten einzeln bestimmen lassen. Außerdem ergibt sich eine laterale Wanderung einer Kugel in der senkrechten Poiseuille-Strömung, die nur für eine Weissenberg-Flüssigkeit verschwindet.