Untersuchung des viskoelastischen Verhaltens von Polymethylmethacrylat mit Hilfe von Biegeschwingungen

Zusammenfassung

Den Zusammenhang zwischen den Biege-Resonanzfrequenzen isotroper zylindrischer Stäbe und dem ElastizitätsmodulE vermittelt die Theorie der Biegeschwingung. Für lange, dünne Stäbe und niedrige Schwingungsordnungen genügt die elementare Theorie, die als Elastizitätskonstante nurE enthält. Diese Theorie wird — auch für den experimentell wichtigen Fall von Stäben mit Zusatzmassen an den Enden-dargelegt.

Für kurze, dicke Stäbe und höhere Schwingungsordnungen wird eine erweiterte Theorie der Biegeschwingung entwickelt, die die rotatorische Trägheit der Stabelemente und die Schubspannungen im gebogenen Stab berücksichtigt. Sie benutzt außerE die Querkontraktionskonstantem und den zunächst willkürlichen Faktorx, der von der Querschnittsform abhängt.

Es werden Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte und Schwingungsknoten von Stäben mit Zusatzmassen an den Enden hergeleitet, die mit einer elektronischen Rechenanlage gelöst werden können. Außerdem wird die Stabmindestlänge bestimmt, bei der sich eine gewünschte Schwingungsordnung gerade noch erregen läßt.

Ausgehend von den allgemeinen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen isotroper elastischer Körper werden die Schubspannungskomponenten im gebogenen Stab bestimmt, mit denen man durch Integration den Faktorx erhält. Weilx bei kreisförmigem Querschnitt nur vonm abhängt, entsteht so eine Zwei-Konstanten-Theorie der Biegeschwingung mitE undm.

Eine Variation vonm hat nur geringen Einfluß aufx. Deshalb kannE mit einem Näherungswert vonm quasi als Einzelgröße berechnet werden. Dies ist vor allem für Polymere wichtig, bei denenm temperatur- und frequenzabhängig ist.

Die Gültigkeit der erweiterten Theorie wird mit der Berechnung vonE aus experimentell gemessenen Resonanzfrequenzen auch höherer Oberschwingungen an kurzen, dicken Stäben hervorragend bestätigt.

Summary

A relation between the resonant bending frequencies of isotropic cylindrical bars andYoung's modulus of elasticityE is given by the theory of bending vibration. For long thin bars and low modes of vibration the elementary theory, containing only the constantE, is sufficient. This theory is explained including the case of bars with additional loads at the ends. This case is important with respect to experiments.

For short thick bars and higher modes of vibration an extended theory is derived, which takes into account the rotational inertia of the elements of the bar as well as the shear stresses in a bent bar. BeyondE this theory usesPoisson'a ratiom and an arbitrary factorx, which depends on the shape of cross-section.

Equations to determine the eigen values and the nodes of vibration for bars with additional loads at their ends are given. They may be solved by using a computer. Furthermore the minimum length of bars is calculated, that limits the possibility of inducing a particular mode of vibration.

Based upon the stress-strain correlations of isotropic elastic bodies, the components of shear stress in a bent bar are determined. By integration of these stresses the factorx is obtained. Sincex for circular sections depends only uponm, the result is a two-constants theory of bending vibration with the constantsE andm.

A variation ofm has little effect on the yalue ofx. ThereforeE may be calculated as a quasi single constant using an approximate value ofm. This fact is important with respect to polymers, whose valuem depends upon temperature and frequency.

Values ofE, evaluated from resonant frequencies measured by means of short thick bars and higher modes of vibration, prove the validity of the extended theory.