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References
Näheres findet man in meinem Lehrbuchn Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen u, Berlin 1922, im XIII. Kapitel.
Wir bezeichnen dann die OperationA mit I. Schur (Über die Äquivalenz der Cesàroschen und Hölderschen Mittelwerte, Mathematische Annalen74 (1913). S. 447–458) kurz als einereguläre Operation.
Dielimite généralisée von É. Borel ist wohl die erste in der Literatur auftretende Bezeichnung dieses Sachverhaltes, bei dem einer divergenten Folge durch ein bestimmtes Verfahren ein Grenzwert zugeordnet wird.
Diese Bedingung, die zuerst von G. H. Hardy ausdrücklich formuliert worden ist, wurde von diesem alscondition of consistency bezeichnet und ist dann in zu wörtlicher Übersetzung vielfach als “Konsistenzbedingung” bezeichnet worden.
O. Toeplitz,Über allgemeine lineare Mittelbildungen, Prace matematycznofizyczne22 (1911), S. 113–119.
Diese Forderungen sind für die Summierungsverfahren wohl zum ersten Male von G. Doetsch (Eine neue Verallgemeinerung der Borelschen Summabilitätstheorie der divergenten Reihen, Inaugural Dissertation, Göttingen 1920) ausdrücklich zusammengestellt worden.
Dieser Mangel des Borelschen Verfahrens wurde von G. H. Hardy (Researches in the theory of divergent series and divergent integrals, The quarterly Journal of pure and applied mathematics35 (1904). S. 22–66) bemerkt und durch ein einfaches Beispiel illustriert.
Man findet es z. B. in denInstitutiones calculi differentialis 1755, S. 281.
Dies hat zuerst. L. D. Ames (Evaluation of slowly convergent series, Annals of mathematics (2)3 (1901). S. 185–192) bewiesen: Weinere Beweise gaben E. Jacobsthal (Mittelwertbildung und Reihentrasformation. Mathematische Zeitschrift6 (1920), S. 100–117) und anschließend K. Knopp (Mittelwertbildung und Reihentransformation, Mathematische Zeitschrift6 (1920). S. 118–122. Im Beginn des folgenden § 1 werden noch zwei weitere Beweise gegeben.
In seiner in Fußnote 5 genannten Arbeit hat O. Toeplitz allgemein bewiesen. daß eine Operations′=A (s) dann und nur dann regulär ist, wenn 1. in jeder Spalte vonA eine Nullfolge steht, wenn 2. eine KonstanteM existiert, so daß die Summe der Beträge beliebig vieler Glieder einer jeden Zeile <M bleibt, und wenn 3. die (wegen der vorigen Bedingung sicher existierenden) ZeilensummenA k=ak0+ak1+... mit wachsendemk gegen 1 streben. — Daß die eben benutzte spezielle MatrixA diese Bedingungen erfüllt, ist ganz unmittelbar zu sehen.
Alles Nähere über dieses Verfahren findet man bei E. Borel,Séries divergentes, Paris 1901, besonders S. 97ff. u. S. 120 ff.
On the consistency and equivalence of certain definitions of summability, Transactions of the American Mathematical Society18 (1917), S. 1–20.
Summationsmethoden und Momentfolgen I, Mathematische Zeitschrift9 (1921), S. 74–109.
Die übergesetzte kleine Ziffer soll natürlich angeben, wie oft jedesmal die 0 bzw. die 1 hintereinander zu setzen ist.
Einen Beweis findet man in jedem Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung, z. B. S. 34 ff. desjenigen von A. A. Markoff.
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Knopp, K. Über das Eulersche Summierungsverfahren. Math Z 15, 226–253 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01494396
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