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Literatur
DieseS-Funktionen sind zuerst von Herrn E. Picard eingeführt worden: Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles et la méthode des approximations successives. Journal de mathématiques pures et appliquées (4) 6, 1890, S. 145–210, besonders S. 197–200. Das Verfahren der sukzessiven Approximationen wird in den meisten einschlägigen Lehrbüchern auseinandergesetzt.
J. Bendixson, Sur la convergence uniforme des séries. Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1897, S. 605–622, besonders S. 616–622.
J. Bendixson a. in Anm. 2) a. O.
Diese falsche Angabe des Herrn Bendixson ist auch in den Enzyklopädieartikel des Herrn Painleyé übergegangen: Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen, Bd. II, 1. Teil, 1. Hälfte, S. 200; Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, t. 2, vol. 3, p. 15.
Wegen dieser Integraldefinitionen vgl. man etwa: P. Montel und A. Rosenthal, Integration und Differentiation, Encyklopädie II, C. 9b Nr. 32. Uneigentliche Integrale, S. 1050–1056.
Eine Exponentialreihe als Majorante findet sich zuerst bei E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des sciences118 (1894), S. 454–457.
Ursprünglich hatte ich hier eine geometrische Reihe als Majorante erhalten und damit die Konvergenz der Reihe (14) zunächst nur in einer Umgebung der Stellex=x 0 sicherstellen können, in welcher |L(x)|<1/n. Durch Aneinanderreihen solcher Intervalle ergab sich dann die Existenz der Integrale im ganzen Intervall <x 0−a ′1 ,x 0+a ′2 〉. Den Beweis des Textes und die damit mögliche einfache Formulierung von Satz 5 verdanke ich Herrn Prof. Perron.
A. Rosenblatt, Über die Existenz von Integralen gewöhnlicher Differentialgleichungen, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik5 (1909), Nr. 2.
Der erste Beweis der folgenden Sätze stammt von G. Peano, Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Math. Annalen37 (1890), S. 182–228. An neueren Beweisen kommen in Betracht: P. Montel, Sur les suites infinies de fonctions, Annales scientifiques de l'école normale supérieure (3), 24 (1907), S. 233–334, besonders S. 264 ff.; O. Perron, Ein neuer Existenzbeweis für die Integrale eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen, Math. Annalen78 (1918), S. 378–384; C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen (Leipzig u. Berlin, B. G. Teubner) (1918), S. 672 ff. Hier wird ein noch allgemeinerer Satz bewiesen.
Vgl. die einschlägigen Lehrbücher.
Literatur bei M. Fréchet-A. Rosenthal, Encyklopädie II, C. 9. c. S. 1147 ff.
Vgl. etwa: M. Fréchet-A. Rosenthal, a. in Anm.11) a. O., S. 1144–1146. Ganz ähnliche Überlegungen sind in den in Anm.9) genannten drei neueren Arbeiten ausführlich dargestellt.
O. Perron, Ein neuer Existenzbeweis für die Integrale der Differentialgleichungy′=f(x, y). Math. Annalen76 (1915), S. 471–484; ein auf wesentlich demselben Grundgedanken beruhender Beweis auch schon bei G. Peano, Sull' Integrabilità delle equazioni differenziali di primo ordine, Atti della Reale Accàdemia delle scienze di Torino21 (1885/86), S. 677–685.
A. in Anm.13) a. O. Peano hat in seiner dort genannten Arbeit den Existenzbereich nicht genau festgelegt.
Vgl. die in Anm.6) aufgeführte Arbeit, ferner E. Lindelöf: Sur l'application des méthodes d'approximations successives à l'étude des intégrales réelles des équations différentielles ordinaires, Journal de mathématiques pures et appliquées (4)10 (1894), S. 117–128.
Dies has für das mit der Methode der Ober-und Unterfunktionen verwandte Verfahren von Peano (Anm. 13) schon Herr Ch.-J. de la Vallée Poussin ohne nähere Begründung behauptet: Ch.-J. de la Vallée Poussin, Mémoire sur l'intégration des équations différentielles, Mémoires couronnés et autres mémoires publiés par l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique47 (1893), 82 S.
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Müller, M. Über das Fundamentaltheorem in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Math Z 26, 619–645 (1927). https://doi.org/10.1007/BF01475477
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01475477