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Literatur
Vgl. Petersen: „Die Theorie der regulären Graphs”, Acta Mathematica Bd. 15 (1891), S. 193–220.
Petersenl. c. „, S. 195.
Nimmt man nämlich den Satz A) als richtig an, so hat der Graphk ten Grades,G k, einen Faktor ersten GradesG 1 und es istG k=G1Gk−1, ebenso istG k−1=G′1Gk−2,G k−2=G″1Gk−3,... wo auchG′ 1 G″ 1,... Faktoren ersten Grades sind; endlich ist alsoG k=G1G′1G″1...G 1(k−1) wirklich in Faktoren ersten Grades zerlegt. — Für eine gerade Zahlk folgt Satz B) unmittelbar aus einem Satze von Petersenl. c., „, S. 200). Es wäre auch nicht schwer, den Fall einer ungeraden Gradzahl auf diesen Fall zurückzuführen. Der hier folgende Beweis, der auch zu allgemeineren Resultaten führt, ist jedoch einfacher und macht die Unterscheidung dieser zwei Fälle nicht nötig.
Diese Untersuchungen sinā zusammengestellt z. B. bei Wernicke (Math. Ann. 58, S. 413).
Philosophical Magazine (5), Bd. 17, S. 30.
Das eine ist ein merkwürdiger Graph von Petersen (Intermédiaire des Mathématiciens Bd. 5, S. 225), das andere z. B. ein Graph (ebenfalls dritten Grades) von Sylvester (abgedruckt als Figur 11 in der öfters erwähnten Arbeit von Petersen).
Am. Journ. of Math. Bd. II, S. 193.
Dies habe ich in zwei in ungarischer Sprache erschienenen Arbeiten versucht (Mathematikai és természettudományi Értesítő Bd. 29).
Diss. Göttingen 1901, abgedruckt in Math. Ann. 61, S. 117. Der Bernsteinsche Beweis ist auch schon für den Fall ν=2 (eigentlich wird von Bernstein nur dieser Fall ausführlich dargestellt) recht kompliziert. (Die folgende Überlegung erledigt diesen Fall durch unmittelbare Anschauung.) Natürlich ist dieser Bernsteinsche Satz eine unmittelbare Folge des ZermeloschenWohlordnungssatzes. Unser Beweis mag vielleicht doch auch für denjenigen Interesse besitzen, der die Zermeloschen Beweise annimmt, trotzdem wir das ZermeloscheAuswahlprinzip keineswegs zu vermeiden versuchten. Wir benutzen aber nur die einfachsten Begriffe der Mengenlehre (Menge, Element, Abbildung) und der Ordnungsbegriff spielt in unserem Beweise keine Rolle.
Der Äquivalenzsatz der Mengenlehre, der ebenfalls von Bernstein zuerst bewiesen wurde, läßt sich mit Hilfe des Graphenbegriffes ebenfalls in recht anschaulicher Weise beweisen. In der Tat benutzt der einfachste Beweis dieses Satzes, den J. König gegeben hat (Comptes Rendus, Bd. 143, S. 110), im Grunde genommen, diesen Begriff. Da liegen jedoch die Verhältnisse so einfach (es würde nur von Graphen zweiten Grades die Rede sein), daß es als überflüssig erscheint, die Terminologie der Graphentheorie zu benutzen.—Der Versuch, die dort gegebene Methode meines Vaters auf den Beweis des oben erwähnten Bernsteinschen Satzes anzuwenden, führte mich zu den Untersuchungen, die in der vorliegenden Arbeit enthalten sind.
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König, D. Über Graphen und ihre Anwendung auf Determinantentheorie und Mengenlehre. Math. Ann. 77, 453–465 (1916). https://doi.org/10.1007/BF01456961
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