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Literatur
Die vorliegende Arbeit bildet den Inhalt meiner Dissertation (Universität Berlin, 1931). Die beiden Bemerkungen (A) und (B), die den Anlaß zu der Arbeit gegeben haben, verdanke ich Herrn O. Toeplitz.
Wennp i Eckpunkt vonA t oder vonB t ist, hat man statt der durchp i hindurchgehenden Seite das Seitenpaar mit der gemeinsamen Eckep t zu nehmen.
Der Begriff der Homologieverschlingung ist in wecentläch größerer Allgemeinheit von L. E. J. Brouwer, 1912, Proc. Amst. 15. S. 113–122, eingeführt worden. In dieser Arbeit finden sich die im folgenden genannten Eigenschaften der Homologieverschlingung, insbesondere auch die Unabhängigkeit der bei der Definition der Homologieverschlingungszahl auftretenden algebraischen Schnittpunktzahl von der Wahl des vonA berandeten orientierten Flächenstüoks.
Vgl. Definition V und Fußnote.7).
Eine dieser beiden Erzeugenden kann eine uneigentliche Gerade sein.
Vgl. die Definition unter a).
Nach M. Dehn, Math. Annalen69 (1910), S. 137–168, ist diese Definition äquivalent mit der folgenden: dann und nur dann heißtK unverknotet, wenn die Fundamentalgruppe vonR 3-K kommutativ — und dann notwendig die freie Abelsche Gruppe von einer Erzeugenden — ist. Dagegen muß infolge einer Lücke im Beweis des Dehnschen Lemmas, auf die H. Kneser, Jahresber. D. M. V.38 (1929), S. 248, aufmerksam gemacht hat, unentschieden bleiben, ob ein im Sinne der Definition V unverknotetesK immer mit einer Kreislinie isotop ist.
Das Beispiel der Antoineschen KurveA und eines inR 3-A kein Element berandenden KreisesB zeigt, daß B v A =0 sein kann, obwohl sichB inR 3-A nicht auf einen Punkt zusammenziehen läßt, daß also die hier definierten Verschlingungszahlen die Verschlingung stetiger Kurven nur sehr unvollkommen beschreiben. Vgl. L. Antoine, Journ. de Math. (4)8 (1921), S. 311–325; J. W. Alexander, Proc. U. S. A. Acad.10 (1924), S. 8–10.
Ein PolygonK mit vollständig reduzibler Projektion geht durch eineindeutige stetige Deformation aus einem PolygonK * mit doppelpunktfreier Projektion hervor;K * berandet ein singularitätenfreies ElementarflächenstückE *, und wenn die Deformation vonK * inK zu einer eineindeutigen Deformation des ganzen Raumes erweitert wird, so wird dabeiE * in ein vonK berandetes singularitätenfreies ElementarflächenstückE übergeführt.
Vgl. L. E. J. Brouwer, l. c. Ein PolygonK mit vollständig reduzibler Projektion geht durch eineindeutige stetige Deformation aus einem PolygonK * mit doppelpunktfreier Projektion hervor;K * berandet ein singularitätenfreies ElementarflächenstückE *, und wenn die Deformation vonK * inK zu einer eineindeutigen Deformation des ganzen Raumes erweitert wird, so wird dabeiE * in ein vonK berandetes singularitätenfreies ElementarflächenstückE übergeführt.
M. Dehn,l. c.
L. c., S. 290–294. Der Beweis kann einfacher dadurch geführt werden, daß man nachweist: die Fundamentalgruppe vonR 3-(A+B) ist nicht die freie Gruppe von zwei Erzeugenden.
Dieser Satz ist zum Beweis des Hauptsatzes nicht erforderlich; er soll nur die Existenz der dreifachen Sehnen bestätigen und eine anschauliche Vorstellung von der Menge dieser Sehnen geben.
Dehn,l. c.,
Vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 244.
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Pannwitz, E. Eine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten. Math. Ann. 108, 629–672 (1933). https://doi.org/10.1007/BF01452857
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