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References
Konvexe Bereiche nehmen wir als beschränkt und abgeschlossen an; sie sollen stets innere Punkte enthalten.
Über einige Affininvarianten konvexer Bereiche, Math. Annalen113 (1937), S. 713–747 (im folgenden zitiert als A.), insbesondere § 5.
In A. mitG 5 undG 3 bezeichnet.
A.: Formel (I), Satz 11c.
mit Mittelpunkt.
A.: Satz 8.
A.: Anfang des Beweises von Satz 8, S. 732.
Das Wort “Kontakt” wird also unmißverständlich sowohl fürt i als auch fürt u verwendet.
äquizentrische
Dieser Satz ist in A. nicht in dieser Form bewiesen, läßt sich aber leicht aus den dortigen Ergebnissen gewinnen; er ist im wesentlichen gleichbedeutend mit dem Lemma aus A., § 2.
äquizentrischer
äquizentrischen
Die Bogenpaarbedingung ist die affin-invariante und gleichzeitig für Bereiche ohne Mittelpunkt verallgemeinerungsfähige Formulierung der Durchmesser- und Dickenmesserbedingung aus A.; A.: Satz 9.
äquizentrischer
A.: Sätze 9, 10, 11.
Vgl. die Analyse von Satz 9 in A.: S. 734–735.
Dies ist die affin-invariante Formulierung für die Tatsache, daß die einem Kreis ein(um)beschriebenen Quadrate seine maximalen (minimalen) Parallelogrammesind.
Die Invarianz der Fragestellung gegenüber affinen Transformationen wird häufig in ähnlicher Weise benutzt werden.
Natürlich läßt sich dies auch mit Hilfe der auf einer Ellipse durch konjugierte Durchmesser abgeteilten Bögen affin-invariant formulieren.
Die Nicht-Dualität des Flächeninhalts äußert sich lediglich in den in (Iu) und (Ii) auftretenden Konstanten.
Eine affin-invariante Formulierung der folgenden Resultate ließe sich natürlich leicht angeben. Vgl. hierzu z. B. die affin-invariante Formulierung von (VII ′0 ) in § 1; siehe Fußnote 25). Dies ist die affin-invariante Formulierung von (VII ′0 ); vgl. Fußnote.
Von den beiden Gleichungen ist nur eine wesentlich, die andere folgt unter Benutzung vona+b+c+d=π; vgl. § 4, (37), (38), (39).
Die Resultate von A. werden im folgendennicht vorausgesetzt.
Dies geschah zwar auch in A., war dort aber—wie oben gezeigt wurde—unnötig.
Dies ist die affin-invariante Formulierung von (VII ′0 ); vgl. Fußnote 21). Eine affin-invariante Formulierung der folgenden Resultate ließe sich natürlich leicht angeben. Vgl. hierzu z. B. die affin-invariante Formulierung von (VII ′0 ) in § 1;
Unter dem Zeichen ∢P1OP2 wird stets der Winkel verstanden, um den man den Radius OP1 in positivem (der Uhrzeigerdrehung entgegengesetztem) Sinn drehen muß, bis er mit OP2 zusammenfällt. ∢P1OP2 ist also der zum Bogen {P1P2} gehörige Zentriwinkel, während zu {P2P1} der ∢P2OP1=2π−∢P1OP2 gehört.
Die letzte ist besonders interessant, da der Inkreis eines konvexen Bereichesnicht eindeutig bestimmt ist.
Eine Ellipse heißt einer andern benachbart, wenn ihr Rand in einer ε-Umgebung des Randes der andern verläuft bzw. wenn die entsprechenden Koeffizienten der zugehörigen Gleichungen bei passender Normierung um weniger als ε voneinander abweichen.
Wir benutzen das Wort “Ellipse” unmißverständlich sowohl für den Bereich als auch für die Randkurve desselben.
Eine gemeinsame äußere Tangente wird von beiden Ellipsen auf der gleichen Seite berührt.
Vgl. zur folgenden Schlußweise auch die ähnlich verlaufende des §1.
Man beachte, daß der Beweis folgendes aussagt: gilt für ein Viereck , dessen Ecken aufe liegen, die Bogenbedingung, so geht seine Umellipse durch alle vier Ecken.
Eine affin-invariante Formulierung ließe sich leicht angeben, doch soll darauf verzichtet werden.
welche ja wegen (31) erfüllt sind, und deren lineare Unabhängigkeit aus (23) und (24) leicht folgt.
Vgl. §2, (11), (15); man denke sich etwa α, ψ, γ, δ als Funktionen des Büschelparameters ϑ eingeführt.
Siehe Fußnote 32). Man beachte, daß der Beweis folgendes aussagt: gilt für ein Viereck , dessen Ecken aufe liegen, die Bogenbedingung, so geht seine Umellipse durch alle vier Ecken.
Für ν=3 wähle man irgendeinen fünften Punkt hinzu.
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Behrend, F. Über die kleinste umbeschriebene und die größte einbeschriebene Ellipse eines konvexen Bereichs. Math. Ann. 115, 379–411 (1938). https://doi.org/10.1007/BF01448948
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01448948