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Literatur
Die algebraischen Erweiterungen erster Art sind nach E. Steinitz (Algebraische Theorie der Körper, J. f. Math.130 (1908), S. 167–303) dadruch ausgezeichnet, daß nur Nullstellen irreduzibler Polynome mit lauter verschiedenen Wurzeln adjungiert werden.
Dedekind, Über die Permutationen des Körpers aller algebraischen Zahlen; Abhandlungen d. Gesellschaft d. Wissenschaften z. Göttingen 1901 (Festschrift). Bei Dedekind handelt es sich an der betr. Stelle um den Körper allerp n-ten Einheitswurzeln (p feste Primzahl,n=1,2,...). —In Zukunft wird die Dedekindsche Arbeit kurz mit “D.” zitiert.
Wegen des Wortes “idealzyklisch” vgl. Anm. 13). “Erzeugende” ist auch hier in dem am Schlusse von § 1 präzisierten verallgemeinerten Sinn aufzufassen.
Formel (1) gilt nur für Erweiterungen erster Art. Der Beweis von Formel (1) kann am einfachsten nach dem Vorbild von D. § 6 geführt werden, nur muß man im allgemeinen Falle die Wohlordenbarkeit einer beliebigen algebraischen Erweiterung an Stelle der Abzählbarkeit einer algebraischen Erweiterung eines algebraischen Zahlkörpers benutzen.
In der Bezeichnung der Axiome schließe ich mich an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 2. Aufl., an.
Es sei hervorgehoben, daß unter b) und c) mehr bewiesen ist, als die Hausdorffschen Axiome B. und C. fordern: B. verlangt nur, daß der Durchschnitt zweier Umgebungen von γ eine Umgebung von γenthält, nicht, daß er selbst eine Umgebungist, wie für unsern Raum unter (b) gezeigt wird. Nach C. soll jeder Punkt δ einer Umgebung Φ von γ eine Umgebung Ψ besitzen, die ganz in Φ liegt. Unter c) dagegen wird die viel weitergehende Tatsache bewiesen, daß in Γ eine Umgebung von γ auch Umgebung jedes der in ihr enthaltenen Punkte ist.
Vgl. D. § 4, Satz IV.
Ich spreche von “idealzyklischen” Gruppen, weil die idealzyklischen Abbildungsgruppen ideale Abelsche Gruppen sind im Sinne von H. Prüfer: “Theorie der Abelschen Gruppen: II. Ideale Gruppen” (Math. Zeitschr.22 (1925), S. 222–249). Allgemeiner sind, soweit ich sehe, die sämtlichen Abelschen Abbildungsgruppen samt ihren abgeschlossenen Untergruppen im Prüferschen Sinne “ideal”, während den nicht-abgeschlossenen Untergruppen diese Eigenschaft nicht zukommt. Doch wäre der hier vorliegende Zusammenhang noch genauer-zu untersuchen. Die idealzyklischen Abbildungsgruppen sind sämtlich isomorph zu (echten oder unechten) Quotientengruppen der Additionsgruppe derjenigen “idealen Zahlen”, die H. Prüfer in der Arbeit: “Begründung der algebraischen Zahlentheorie” (Math. Annalen94 (1925), S. 198–243) den gewöhnlichen ganzen Zahlen zugeordnet hat. Man könnte die Theorie der idealzyklischen Abbildungsgruppen auf die Herstellung des Zusammenhanges mit der zuletzt erwähnten Prüferschen Arbeit gründen. Doch führt bei unserem Ausgangspunkt der im Text eingeschlagene Weg wohl rascher zum Ziel.
Man vergleiche die “additive Zerlegung” der idealen Zahlen in § 7 der in Anm. 13) an zweiter Stelle zitierten Prüferschen Arbeit.
Die AdditionsgruppeZ * der zu den ganzen rationalen Zahlen nach Prüfer gehörigen idealen Zahlen besitzt den Typ:Z *=Z2∞·Z3∞·Z5∞·... Daraus und aus Satz 12 ergibt sich sofort die in Anm. 13) aufgestellte Behauptung über die Isomorphie der idealzyklischen Abbildungsgruppen mit den Quotientengruppen vonZ *.
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Krull, W. Galoissche Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen. Math. Ann. 100, 687–698 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01448872
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01448872