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Literatur
D. Hilbert, „Grundlagen der Geometrie” (weiterhin kurz als „Grundlagen” zitiert), 4. bis 6. Auflage, S. 23.
„Grundlagen”, S. 22.
So von Hilbert selbst schon vor der Geometrie, 1890, in der Arithmetik, vgl. „Grundlagen” S. 240; weiterhin auch in der Mengenlehre, vgl. P. Finsler, „Über die Grundlegung der Mengenlehre. I. Teil”, Math. Zeitschr.25 (1926), S. 683–713, insbesondere S. 691.
Eine Ausnahme macht M. Geiger, „Systematische Axiomatik der Euklidischen Geometrie”, Augsburg 1924, S. 271, in dem Anhange S. 265–269, doch beziehen sich seine Bemerkungen mehr auf die Ästhetik der Axiomatik, während es uns hier auf das wirkliche, man könnte sagen praktische, Arbeiten mit den Axiomen ankommt.
Derselbe Beweis liefert den schärferen Satz: Enthalten zwei Deutungen der Hilbertschen Axiome der Verknüpfung dieselben Punkte, und sind die Geraden IEbenen) der einen von beiden Deutungen auch Gerade (Ebenen) in der anderen, dann enthalten die beiden Deutungen auch dieselben Geraden (Ebenen). Die Anwendung dieses Satzes auf die Geraden und Ebenen zeigt, daß die Deutungen identisch sind.
Bei R. Baldus, „Nichteuklidische Geometrie (Hyperbolische Geometrie der Ebene)”, Sammlung Göschen, Berlin und Leipzig 1927, 152S. (weiterhin zitiert als „N.G.”) findet man S. 70 eine enge Fassung eines Nichteuklidischen Parallelenaxioms.
„N. G.”, S. 44–45 enthält eine engere Fassung des Cantorschen Axioms, die, wie in einer späteren Note gezeigt werden wird, noch verschärft werden kann. Hier, wo es sich um die Betrachtung des Vollständigkeitsaxioms handelt, möge davon abgesehen werden.
Enge Fassung „N. G.”, S. 55.
Weiterhin kurz als „ein-eindeutig” bezeichnet.
„N. G.”, S. 51 ist der Vollständigkeitssatz für die absolute Geometrie der Ebene abgeleitet.
Dasselbe gilt natürlich für die hyperbolische Geometrie, wenn man statt des Euklidischen ein hyperbolisches Parallelenaxiom einführt.
„N. G.”, S. 55 (und 70).
R. Baldus, „Über das Archimedische Axiom,” Math. Zeitschr.26 (1927), S. 757–761.
Sind Deutungen eines Axiomensystems vollständig im Sinne Hilberts, d. h. nicht erweiterungsfähig, dann brauchen sie nach dem soeben Gesagten nicht isomorph zu sein; nachdem die Bezeichnung „Vollständigkeitsaxiom” eingeführt ist, kann man daher die Wahl der Bezeichnung „vollständig” z. B. bei H. Weyl, „Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft” (im Handbuch der Philosophie), München und Berlin 1927, S. 162 nicht als sprachlich glücklichen Griff bezeichnen, wenn man auf S. 22 den Satz findet, „Ein Axiomensystem ist vollständig, wenn irgend zwei inhaltliche Interpretationen desselben notwendig isomorph sind”.
Isomorph heißt immer isomorph im Sinne des betreffenden Axiomensystems. So sind z. B. zwei affin aufeinander bezogene Ebenen für den Euklidischen Geometer, der nur die Axiomgruppen I, II eingeführt hat, aufeinander isomorph abgebildet, nach Einführung der Axiome III nicht mehr. Hier ein Beispiel eines Axiomensystems, das einebeliebige Zahl von Deutungen zuläßt, deren jedeendlich viele Elemente enthält, jede istvollständig im Sinne des Vollständigkeitsaxioms, dabei sindkeine zwei dieser Deutungen isomorph:A 1,A 2,...,A n ... seien die Elemente des Systems. Es gibt eine Beziehung „A q folgt aufA p ” zwischen zwei Elementen, die folgenden Axiomen genügt: I. FolgtA q aufA p , dann folgt nicht auchA p aufA q . II. Jedes Element folgt genau einem und jedes Element hat genau ein ihm folgendes. Nimmt man einen orientierten Kreis, dann ist eine Gruppe von drei Punkten auf ihm eine mögliche Deutung, ebenso eine Gruppe von vier Punkten, von fünf usf. Man kann keine dieser Deutungen unter Erhaltung aller axiomatischen Beziehungen des „Folgens” erweitern, weiterhin lassen sich keine zwei der genannten Deutungen so ein-eindeutig aufeinander abbilden, daß bei der Abbildung alle Beziehungen des „Folgens” erhalten bleiben.
Man kann das Euklidische und das hyperbolische Parallelenaxiom so fassen, daß die beiden Axiome eine vollständige Disjunktion über die Parallelen ausdrücken, vgl. „N. G.” S. 55 und 70, sowie S. 72–73. Damit zerfällt die Gesamtheit, der Deutungen der absoluten Geometrie in die beiden Klassen der Euklidischen und der hyperbolischen Deutungen.
Populär dargestellt in des Verfassers Schrift „Formalismus und Intuitionismus in der Mathematik”, Karlsruhe 1924, 45 S. Die soeben durchgeführte Betrachtung soll selbstverständlich keine allgemeine Aussage über polymorphe und monomorphe Axiomensysteme liefern, sondern bezieht sich auf die speziellen Verhältnisse der absoluten und der Euklidischen Geometrie; diese sind zwar stark durch den polymorphen oder monomorphen Charakter, aber nicht allein durch ihn bestimmt.
Vgl. „N. G.”, S. 144.
In Kissingen hat Herr A. Fraenkel in einer Besprechung darauf hingewiesen, daß die Mengenlehre nicht anders monomorph gemacht werden kann, als durch ein „Postulat” im Sinne Geigers, nämlich durch ein Beschränktheitsaxiom, gegen das ähnliche Einwände vorgebracht werden können, wie gegen das Vollständigkeitsaxiom. Solange dies nicht vermieden werden kann, ähnlich wie es in der Geometrie durch Hinzunahme des Cantorschen Axioms geschieht, ist die Geometrie in gewissem Sinn axiomatisch einfacher als die Mengenlehre, da ihre Axiome nur von den an der Spitze des Axiomensystems eingeführten Dingen zu, handeln brauchen.
Herr Finsler weist — und dagegen ist logisch nichts einzuwenden — a. a. O. S. 699 eine enger gefaßte Unabhängigkeit seiner Axiome nach, nämlich die Unbeweisbarkeit jedes Axioms aus den vorhergehenden. Der Gefahr der Einführung überzähliger Axiome ist damit aber nicht begenet, da ja auch ein vorhergehendes Axiom aus einem späteren beweisbar sein kann.
Ähnliche Überlegungen gelten für andere Existenzialaxiome in Verbindung mit einem Vollständigkeitsaxiom, z. B. für das Hilbertsche Axiom I 3. Während so einerseits I 8 aus dem Vollständigkeitsaxiom folgt, kann man andererseits, wie Herr P. Bernays bemerkt, ohne in Widerspruch mit dem Vollständigkeitsaxiom zu geraten, an Stelle von I 8 ein gegenteiliges Axiom einführen. „Es gibt keine vier Punkte, die nicht komplanar sind.” Auch auf einen andern Umstand sei in diesem Zusammenhange hingewiesen: Die Hinzufügung eines Vollständigkeitsaxioms zu einem Axiomensystem hat nur dann einen Sinn, wenn es unter allen möglichen Deutungen der bisherigen Axiome nicht mehr erweiterungsfähige gibt. Würde man z. B. das Axiom I 7, welches die Dreidimensionalität des Raumes ausspricht, weglassen, alle übrigen Axiome beibehalten und als neue Forderung hinzufügen, das System der Punkte solle endlich viele Dimensionen haben (ohne Angabe einer bestimmten Dimensionszahl), dann wäre jede Deutung dieses Axiomensystems durch Einbettung in einen höheren Raum erweiterungsfähig und es gäbe daher keine Deutung für das aus diesen Axiomen und dem Vollständigkeitsaxiom gebildete Axiomensystem. Auf einen analogen Fall bezieht sich der Einwand gegen Herrn Finslers a. a. O. aufgestelltes Axiomensystem bei R. Baer, „Über ein Vollständigkeitsaxiom in der Mengenlehre”, Math. Zeitschr.27 (1928), S. 536–539.
Verknüpfung, Anordnung, Kongruenz, Euklidisches Parallelenaxiom.
Eine andere Auffassung über den logischen Inhalt des hier zitierten Satzes aus den “Grundlagen” findet man bei P. Finsler, “Erwiderung auf die vorstehende Note des Herrn Baer”, Math. Zeitschr.27 (1928), S. 540–542 auf S. 542. Ihr tritt Herr R. Baer in seiner unmittelbar darauffolgenden Note “Bemerkungen zu der Erwiderung von Herrn P. Finsler” entgegen.
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Bis auf Nr. 8 und 9 im wesentlichen, mit Ausnahme der Anmerkungen, vorgetragen auf der Kissinger Mathematikertagung, September 1927, vgl. Jahresber. d. Deutsch. Mathem. Vergg.37 (1928), 2. Abt., S. 3 Auf Anregung von Herrn P. Bernays hin oder veranlaßt durch die neuesten Arbeiten der Herren P. Finsler und B. Baer sind zur ursprünglichen Fassung der vorliegenden Arbeit aus dem September 1927 Nr. 8 und 9, sowie die Anmerkungen23),24),26) hinzugekommen.
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Baldus, R. Zur Axiomatik der Geometrie. I. Math. Ann. 100, 321–333 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01448848
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