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Literatur
Es ist nicht möglich, hier die gesamte an Hilbert anknüpfende Literatur zu nennen. Ich möchte nur die Gelegenheit benutzen, um ausdrücklich auf die in Deutschland zu wenig bekannten Arbeiten von G. Fubini, Annali di Mathematica (3) 14,15 (1907), (1908). Rendiconti della R. accademia dei Lincei 1907, 1910. Rendiconti del Circolo matematico di Palermo 1907 hinzuweisen.
Es sind bereits die folgenden in diesen Gedankenkreis hineingehörenden Arbeiten erschienen: 1. R. Courant, Über die Anwendung der Variationsrechnung in der Theorie der Eigenschwingungen und über neue Klassen von Funktionalgleichungen, Acta math.49. 2. R. Courant, Über die Theorie der linearen partiellen Differenzen gleichungen, Gött. Nachr. 23. X. 1925. 3 R. Courant, Über eine neue Klasse von kovarianten Funktionalausdrücken, welche aus Variationsproblemen entsprinen, Gött. Nachr. 18. XII. 1925. 4. H. Lewy, Über einen Ansatz zur numerischen Lösung von Randwertproblemen, Gött. Nachr. 18. XII. 1925. 5. R. Courant, Bemerkungen zur Frage der numerischen Auflösung von Randwertproblemen, die aus der Variationsrechnung entspringen, Gött. Nachr. 18 XII. 1925. 6. O. H. Malik, Anwendung der Variationsrechnung auf thermo-elastische Aufgaben, Diss. Gött. 1926. Ferner sei gestattet auf die folgenden demnächst in den Annalen erscheinenden Arbeiten hinzuweisen: 7. H. Lewy, Über die Methode der Differenzengleichungen zur Lösung von Variations- und Randwertproblemen. 8. R. Courant, K'. Friedrichs, H. Lewy, Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. 9. K. Friedrichs, Die Randwert- und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Platten. 10. K. Ch. Chu, Über den Existenzbeweis für die Lösungen gewisser Typen von gewöhnlichen Funktionalgleichungen. Diss. Göttingen 1927 und auf weitere in Vorbereitung befindliche Publikationen. Endlich möchte ich noch auf den in Vorberetung befindlichen Band II der Methoden der mathematischen Physik von Hilbert und mir, hinweisen.
Man könnte natürlich das Problem auch unmittelbar als ein Minimumproblem für eine Funktion von unendlich vielen Parametern ansehen.
Die vor allem von Carathéodory für die einfachsten Typen von Problemen entwickelte Theorie der diskontinuierlichen Lösungen zeigt, daß unter gewissen Voraussetzungen die Verhältnisse auch anders liegen können.
Es ist das Verdienst von Herrn L. Tonelli, auf die Bedeutung der Halbstetigkeit nachdrücklichst hingewiesen zu haben. Vgl. vor allem sein ausführliches Werk: Fondamenti di calcolo delle variazioni. Vol. I, II. Bologna 1921, 1923.
Zur Frage, wie die Minimalfolge zu wählen oder zu verändern ist, um ihre Konvergenz zu erreichen, vgl. Nr. 5.
Vgl. die oben zitierte Arbeit Nr. 7.
Wenn etwa die zulässigen Funktionen und ihre Ableitungen als periodisch vorausgesetzt werden.
Es seien in dieser Hinsicht die oben zitierten Arbeiten Nr. 2, 7, 8 genannt.
Man kann allerdings künstlich die im folgenden betrachteten Zusatzglieder auf Divergenzausdrücke unter dem Hauptintegral zu reduzieren suchen.
Man vergleiche die oben zitierte Arbeit Nr. 1 und die daran anschließende Arbeit Nr. 6.
Wie aus einer Bemerkung von A. Haar, Math. Annalen97 (1926), S. 125, hervorgeht, hat dieser schon im Jahre 1910 auf derartige Gedankengänge hingewiesen und insbesondere betont, daß dadurch der Erfolg von W. Ritz bei seiner Arbeit über die Gleichung der Platte in klarem Lichte erscheint.
Vgl. R. Courant, Über ein konvergenzerzeugendes Prinzip in der Variationsrechnung. Gött. Nachr. 1922.
Die ursprüngliche Fassung dieser Arbeit in den Jahresberichten enthielt an dieser Stelle einen Abschnitt, in dem solche Beispiele weiter besprochen wurden. Eine vollständigere Behanldung spezieller Probleme findet, sich außer in Bd. II der Methoden der math. Physik in den oben zitierten Arbeiten Nr. 10, 11.
Man tut allerdings gut daran, diesen Randbedingungen eine etwas allgemeinere Bedeutung beizulegen. Vgl. z. B. die oben zitierte Arbeit Nr. 19.
In dem Buch von W. Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie, 2, Berlin (Julius Springer 1924), S. 65, ist unter der Überschrift “Eine Vermutung von R. Courant” eine unzutreffende Angabe über die Lösung dieses Problems enthalten.
Auf die ebenfalls leicht zu diskutierende Möglichkeit, daß die überG liegende Extremale sich nicht durch eine eindeutige Funktion repräsentieren läßt, wollen wir nicht näher eingehen.
In der hier gegebenen Beleuchtung finden auch alle die Fälle ihre Aufklärung, in denen die Lösungskurve im Innern des Intervalls senkrechte Strecken aufweist, wo die Lösungsfunktion des unhomogen geschriebenen Problems also unstetig werden kann. Vgl. hierzu die etwas umständlichen Ausführungen von A. Razmadzé, Sur les solutions discontinues dans le calcul des variations, Math. Annalen94 (1925), S. 1.
Vgl. hierzu die oben zitierte Arbeit Nr. 1, 3 und G. Fubini, Alcuni nuovi problemi di calcolo delle variazioni con applicazioni alla teoria delle equazioni integrodifferentiali. Annali di matematica (3)30 (1913).
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Freie Wiedergabe eines auf der Deutschen Naturforscherversammlung in Innsbruck gehaltenen Vortrages. Der Vortrag ist ursprünglich im Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung34 (1925), S. 90–117 unter dem Titel: Über direkte Methoden bei Variations- und Randwertproblemen erschienen. Die gegenwärtige Fassung unterscheidet sich von dem ersten Abdruck durch eine Reihe von Zusätzen und Weglassungen.
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Courant, R. Über direkte Methoden in der Variationsrechnung und über verwandte Fragen. Math. Ann. 97, 711–736 (1927). https://doi.org/10.1007/BF01447891
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