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Literatur
C. Carathéodory et L. Fejér, Remarques sur le théorème de M. Jensen, Comptes Rendus, 16 juillet 1907.
S. T. Radó, Über die Fundamentalabbildung schlichter Gebiete, Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae1 (1923), S. 240 bis 251; insbes. Einleitung: die Fejér-Rieszsche Beweisanordnung.
Auf die einschlägigen interessanten allgemeineren Untersuchungen der Herren Gronwall, Pick, Kakeya und seiner Schüler sei hier nur kurz hingewiesen.
C. Carathéodory und L. Fejér, Über den Zusammenhang der Extremen von harmonischen Funktionen mit ihren Koeffizienten und über den Picard-Landauschen Satz, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo32 (1911), S. 218–239; insbes. § III: Absolute Beträge, S. 231–235.
Der fragliche Minimalwert wird als größte positive Wurzel einer Determinantengleichung charakterisiert; die Determinante ist eine Toeplitzsche und ihre Elemente sind angebbare rationale Funktionen der Unbekannten.
I. Schur, Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind, Journal für die reine und angewandte Mathematik,147, S. 205–232; Fortsetzung148, S. 122–145.
Vgl. O. Szász, Ungleichungen für die Koeffizienten eine Potenzreihe, Math. Zeitschrift1 (1918), S. 163–183, insbes. § 2, Fußnote 4), worin auf eine Arbeit der Herrn E. Hellinger und O. Toeplitz Bezug genommen wird.
Zusatz bei der Korrektur.—Dieser Satz V ist nicht neu. Er ist, als Hilfssatz 4, in der Arbeit von Herrn Landau: Über einen Bieberbachschen Satz (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo46, 1922, S. 456–462, insbes. S. 461) ausdrücklich formuliert und bewiesen. Der Landausche Beweis stützt sich, außer auf die (implizite auch von mir benützte) Existenz der zuc 0,c 1, ...,c n gehörigen “kanonischen Funktion” der Carathéodory-Fejérschen Arbeit, auf einige, auch an sich interessante Hilfssätze; mein Beweis verwendet die zuc 0,c 1, ...,c n gehörige quadratische Form.
G. H. Hardy and J. E. Littewood, Some properties of fractional integrals, Proceedings of the London Mathematical Society (2),24, Part 3, (1925) Records of Proceedings at Meetings, March 12th, 1925; s. Theorem 9.
Es ist leicht ein entsprechendes allgemeines Theorem zu formulieren und zu beweisen für diejenigen reellen quadratischen. Formen Σa pq x p x q für welche 1.a pq ≧0 (p, q=1, 2, ...,n) und 2.a 1q ≧a 2q ≧...≧a nq (q=1, 2, ...,n).
Wennf(z) nur für |z|<1 regulär ist, so wendet man in üblicher Weise das eben bewiesene Theorem auff(rz) an (wo 0<r<1), geht ohne Schwierigkeit zur Grenzer=1 über und erhält so für diesen allgemeineren Fall dieselbe. Ungleichung, die für den spezielleren Fall:f(z) regulär für |z|≦1, eben bewiesen wurde.
Vgl. E. Landau, Über die größte Schwankung einer analytischen Funktion in einem Kreise, Archiv der Math. u. Physik (3)11 (1906), S. 302–307, und besonders die wichtige Arbeit: Abschätzung der Koeffizientensumme einer Potenzreihe (Zweite Abhandlung), ebenda Archiv der Math. u. Physik21 (1913), S. 250–255.
Vgl. F. Riesz, Über Potenzreihen mit vorgeschriebenen Anfangsgliedern, Acta Mathematica42 (1913), S. 145–171, insbes. § 7.
Vgl. L. Fejér, Über die Koeffizientensumme einer beschränkten und schlichten Potenzreihe, Acta Mathematica49, S. 183–190; insb. Nr. 8, S. 190. In vorliegender Arbeit lasse ich die Beschränkung |f(z)|≦1 weg; entsprechend wirda 0 in die Koeffizientensumme nicht einbezogen. Dies entspricht aber besser der Natur der Fragestellung, einer Fragestellung, die den Ausgangspunkt für die Untersuchungen vorliegender Arbeit bildete.
Sogar |a 0|+|a 1|+...+|a n−1| hat dasselbe Maximum; vgl. § 5.
In § 1 vorliegender Arbeit gebe ich für die Begründung dieser Bestimmungsvorschrift im speziellen Falle 0<c 0≦c 1≦...≦c n einen elementaren Weg an. Im Texte wird aber diesmal dasallgemeine Resultat in vollem Umfange benützt.
S. Fußnote 11)G. H. Hardy and J. E. Littlwood, Some properties of fractional integrals, Proceedings of the London Mathematical Society (2)24, Part 3, (1925) der vorliegenden Arbeit.
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Fejér, L. Über gewisse Minimumprobleme der Funktionentheorie. Math. Ann. 97, 104–123 (1927). https://doi.org/10.1007/BF01447863
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