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Der Brunn-Minkowskische Satz und sein Spiegeltheorem sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und hyperbolischen Geometrie

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  1. Erhard Schmidt: Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. I. Math. Nachr.1, 81–157 (1948). Diese Arbeit, welche viel später dem Druck übergeben, infolge der Zeitumstände schon vor der gegenwärtigen erschienen ist, bringt eine neue, allen drei Geometrien gemeinsame Beweisführung, welche aber von der vorliegenden bei Verzicht auf die Einbeziehung des sphärischen Raumes an Durchsichtigkeit übertroffen werden dürfte.

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  2. Dieser Satz ist für den euklidischen Raum bekannt. Er rührt von Bieberbach her Vgl.Bieberbach: Über eine Extremaleigenschaft des Kreises. Jber. Deutsche Math.-Verein.24, 247–250 (1915).

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  3. SieheCarathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig 1918, § 446, Satz (3), S. 497.

  4. Daß diese Definition der Oberfläche einer beschränkten, abgeschlossenen, nicht leeren Punktmenge unter sehr allgemeinen Voraussetzungen mit der gewöhnlichen übereinstimmt, ist bekannt und trivial. Diese Voraussetzungen sind jedenfalls allgemeiner als diejenigen, unter welchen es dem Verf. bisher gelungen ist, die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel auch für die nichteuklidische Geometrie zu beweisen. Vgl.Schmidt, Erhard, Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im hyerbolischen und sphärischen Raum jeder Dimensionenzahl. Math. Z.49, 1–109 (1943). Abgesehen von dem großen und durchsichtigen Zusammenhang, in welchem die vorliegende Arbeit die Gegenstände behandelt, und der bedeutenden Vereinfachung der Beweise ist also auch das Ergebnis der zitierten Arbeit, was den euklidischen und hyperbolischen Raum anlangt, in demjenigen der vorliegenden enthalten. In der Definition (1) könnte natürlich auch der lim inf durch den lim sup ersetzt werden. Hier ist ersterer gewählt; weil die Gültigkeit der isoperimetrischen Ungleichung bei ersterer Definition ihre Gültigkeit bei letzterer a fortiori sicherstellt.

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  1. Berlin

    Erhard Schmidt

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  1. Erhard Schmidt
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Schmidt, E. Der Brunn-Minkowskische Satz und sein Spiegeltheorem sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und hyperbolischen Geometrie. Math. Ann. 120, 307–422 (1947). https://doi.org/10.1007/BF01447836

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