Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit nichtlinearen Splines

Zusammenfassung

In dieser Arbeit werden nichtlineare Splines zur Lösung von Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen herangezogen. In der Nähe von Singularitäten besitzen z.B. verallgemeinerte rationale Splines mit variablen Exponenten gute Approximationseigenschaften. Bei Polynomsplines können Konvergenzaussagen hergeleitet werden, indem Äquivalenz dieser Verfahren mit gewissen linearen Mehrschrittverfahren gezeigt wird. In dieser Arbeit behandeln wir den nichtlinearen Fall, indem wir die lokalen Fehler in den Knoten direkt verfolgen. Einige numerische Beispiele zeigen die Güte dieser Verfahren insbesondere bei solchen Lösungen, die sehr steil anwachsen oder sogar im betrachteten Intervall singulär werden.

Summary

We consider the technique of using nonlinear splines to solve the initial value problem of ordinary differential equations. It is known, for example, that generalized rational splines with variable exponents yield good approximations to the exact solution in the neighborhood of a singularity. In the case of polynomial splines, convergence results may be derived by demonstrating the equivalence of the method to linear multistep methods. This sort of analysis has been done by many authors. In this paper we treat the nonlinear case and are able to prove convergence by directly estimating the local errors at interior knots. Some computational examples are given which illustrate the power of the method near a singularity.