Neue beiträge zur theorie der elektrischen widerstandsänderung im magnetfeld

Abstract

For the calculation of the change of resistance by magnetic fields, for the first time we put forward an improved wave function that exactly describes the motion of an electron in the perpendicularly crossed uniform$\mathfrak{E}$ andB fields. The effect of the periodical potential and the lattice vibrations has been taken into account as perturbation according to the Kubo method. The final result contains only observables and is free from any adjustable parameters. The influence of the lattice periodicity on the final result for strong magnetic fields is small in comparison with the effect of the vibrations, and a closed expression for the final result is obtained. The result shows a reasonably good agreement with the observed values for Cd at 78 °K in range 200∼300 kG.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird die magnetische Widerstandsänderung nach einer wesentlich verbesserten Methode theoretisch berechnet. Ausgehend vom Metallmodell der freien Elektronen wird der Einfluß der homogenen Felder in Strenge, der des periodischen Potentials durch eine erste und der Einfluß der Gitterschwingungen durch eine zweite Störungsrechnung behandelt. Es ist dabei wesentlich, daß wir die Bewegung der freien Elektronen in einem gekreuzten magnetischen und elektrischen Feld durch eine neue Wellenfunktion exakt beschreiben. Diese hat den Vorteil, daß sie normierbar ist und einen Symmetrie-parameter geometrischer Natur (mittlere Schraubenachse) enthält, der zur Aufstellung einer Ausgangswellenfunktion bei der Störung durch ein periodisches Potential vorteilhaft ist. Mit dieser Wellenfunktion lassen sich die Matrixelemente der Störungsrechnung in geschlossener Form angeben. Es ist auch nicht nötig, die Driftgeschwindigkeit der Elektronen quasi-klassisch und adhoc einzuführen, sondern die hier gebrauchten ungestörten Wellenfunktionen enthalten diese bereits von selbst. Sie haben die weitere nützliche Eigenschaft, daß der Grenzübergang zu verschwindendem Magnetfeld explizit durchführbar ist, auch in den Ergebnissen der Störungsrechnungen. Diese Behandlung ermöglicht es, zu Endergebnissen zu kommen ohne, daß die sonst üblichen Hilfsparameter wie scheinbare Masse oder Stoßzeit und Driftgeschwindigkeit benötigt werden. In das Ergebnis gehen außer universellen Konstanten nur noch physikalische, leicht zugängliche Größen ein, nämlich: die Anzahl der freien Elektronen in der Fermienergie, die Schallgeschwindigkeit und die Debye-Temperatur. Die vom periodischen Potential herrührenden Parameter kommen bei hohen Magnetfeldern nicht im Endergebnis vor, weil deren Wirkung dann klein gegen die übrigen Einflüsse ist und wir nur die relative Widerstandsänderung berechnen.

Es ergibt sich für tiefe Temperatur ein Endergebnis in geschlossener Form für (p _t –p _o )/p _o , das sich numerisch auswerten läßt. Dies berücksichtigt auch die Landau-Niveau-Übergänge durch die Stöße mit den Phononen. Die in unserem Resultat noch enthaltenen Abschätzungen könnte man mittels maschineller Berechnung noch verbessern. Dann ließen sich auch Aussagen über das Verhalten bei weniger tiefen Temperaturen machen und mit den Experimenten vergleichen. Bereits ohne das zeigt sich: die relative Widerstandsänderung ist proportionalT ⁻⁴. Bei kleinen Feldern ist sie etwa proportional zum Betrag des Magnet-feldes, bei großen Feldern ergibt sich eine Sättigung.

Der Vergleich mit bei 78 °K an Cd gemessenen Werten ist zwischen 200 ∼ 300 kG durchaus zufriedenstellend, besonders wenn man an die geringe Anzahl der hier benutzten Parameter denkt. Weiterhin zeigt sich, daß die Hall-Konstante den gleichen Wert wie in der klassischen Theorie hat.