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Literatur
“Wirkungsraum”=“espace homogène” bei Cartan. — Literatur:E. Cartan, La théorie des groupes finis et continus et l'analysis situs (Paris 1930, Mémorial Sc. Math. XLII); ferner:C. Ehresmann, Sur la topologie de certains espaces homogènes, Ann. of Math.35 (1934), 396–443.
Man kommt auch mit schwächeren Regularitätsbedingungen aus.
Für unsere Zwecke ist es nicht nötig, noch zu fordern: ausa≠b folgtf a ≠f b .
——Cartan, l. c., p. 29.
Dieser Satz scheint zwar nirgends formuliert worden zu sein, er ist aber eine direkte Folge aus der bekannten Tatsache, daß die Fundamentalgruppe vonG Abelsch ist, einerseits und den bekannten Beziehungen zwischen den Fundamentalgruppen vonG und vonW andererseits; diese Beziehungen sind z. B. dargestellt bei ——Ehresmann, l. c.,, p. 399, sowie enthalten in dem Satz XII vonW. Hurewicz, Beiträge zur Topologie der Deformationen I, Proc. Akad. Amsterdam38 (1935), 112–119.
W. Hurewicz, Beiträge zur Topologie der Deformationen IV, Proc. Akad. Amsterdam39 (1936), 215–224; insbesondere p. 224.
G. de Rham, Über mehrfache Integrale, Abh. Math. Seminar Hamburg12 (1938), 313–339; insbesondere p. 335. — Herr de Rham hat uns darauf hingewiesen, daß an dieser Stelle die a. a. O. gemachte Voraussetzung der “Symmetrie” des Wirkungsraumes unnötig ist.
Alexandroff-Hopf, Topologie I (Berlin 1935), p. 542 sowie p. 534 ff.
Am Schluß von Nr. 6 wird dieser Hilfssatz noch präzisiert werden.
——Cartan, l. c., p. 43.
Alexandroff-Hopf, l. c.Topologie I (Berlin 1935), p. 537.
Man beachte die Verschärfung dieses Satzes in Fußnote 20.
Man vergleiche: ——Cartan, l. c., p. 25 ff.;Ehresmann, l. c., p. 397 ff.
Entsprechend der Bemerkung in Fußnote 3 haben wir hier nicht gefordert, daßU keine invariante Untergruppe vonG (außer der Einheitsgruppe) enthalte.
Unter Untergruppen vonG sollen, wenn nichts anderes gesagt wird, immer abgeschlossene Untergruppen verstanden werden.
Nachdem der eine von uns (H. Hopf) über den Inhalt der vorliegenden Arbeit in der Sitzung der Schweizerischen Math. Gesellschaft, September 1940 in Locarno, berichtet hatte, machte uns Herr G. de Rham auf die Note vonA. Weil, Démonstration topologique d'un théorème fondamental de Cartan, C. R.200 (1935), 518–520, aufmerksam; der im Titel dieser Note erwähnte Satz von Cartan ist unser Hilfssatz 4. Unser Beweis dieses Cartanschen Satzes ist mit dem Beweis von Weil identisch, und überhaupt enthält die obige Nr. 4 nichts, was über den Inhalt der Note von Weil hinausginge; trotzdem wiederholen wir diese Dinge ausführlich, da wir den Gedankengang des Beweises für unseren Satz in Nr. 1 lückenlos darstellen wollen.
——Cartan, l. c., p. 22; sowie:L. Pontrjagin, Topological groups (Princeton 1939), p. 196 ff.
——Cartan, l. c.; p. 36; sowie, ohne Differenzierbarkeits-Voraussetzungen:Pontrjagin, l. c., p. 169.
Man vergleiche z. B.J. F. Koksma, Diophantische Approximationen (Berlin 1936), p. 83.
Diese Definition weicht zwar von der sonst üblichen, “infinitesimalen” Definition des “Ranges” einer Lieschen Gruppe etwas ab, sie ist aber für manche Zwecke praktisch.
Aus dem Zusatz zu Satz II folgt, daß die MengeM der Elementea, für welche dief a höchstens endlich viele Fixpunkte haben, inG überall dicht ist; denn die maximalen Toroide überdeckenG vollständig (Hilfssatz 3), und auf jedem Toroid liegen die erzeugenden Elemente überall dicht (Kroneckerscher Approximationssatz18)). DaM überdies, wie man leicht zeigt, eine inG offene Menge ist, ist man berechtigt zu sagen, daß “fast alle” Elemente vonG die im Satz II ausgesprochene Eigenschaft haben.
Auf jeder geschlossenen Mannigfaltigkeit, deren Charakteristik 0 ist, gibt es stetige Vektorfelder ohne Nullstellen (Alexandroff-Hopf, l. c., p. 552), also auch stationäre Strömungen ohne Singularitäten; in dem obigen Satz liegt der Ton auf der Tatsache, daß die genannten Strömungen durch Untergruppen der gegebenen transitiven GruppeG bewirkt werden; daraus folgt z. B., daß diese Strömungen Isometrien im Sinne der gegenüberG invarianten Riemannschen Metrik vonW sind (Cartan, l. c., p. 43).
Zum Beispiel gibt es in der GruppeG der elliptischen Bewegungen der reellen projektiven EbeneW Transformationen, bei denen die Menge der Fixpunkte aus den Punkten einer Geraden und einem isolierten Punkt besteht; hierbei ist aber χ(W)=1.
——Cartan, l. c., pp. 40–41. — Die Gruppe\(\mathfrak{S}\) ist isomorph der Gruppe derjenigen Automorphismen vonT, welche durch innere Automorphismen vonG bewirkt werden.
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Hopf, H., Samelson, H. Ein Satz über die Wirkungsräume geschlossener Liescher Gruppen. Commentarii Mathematici Helvetici 13, 240–251 (1940). https://doi.org/10.1007/BF01378063
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