Abstract
Es handelt sich um einen Beweis der folgenden Sätze, die zuerst von Grauert angegeben wurden (Publ. Math. I.H.E.S. No. 5, 1960; vgl. dies Zbl.100, 80 (1963)):
Es seif:X →Y eine eigentliche holomorphe Abbildung komplexer Räume,
sei einef-platte kohärente analytische Garbe überX; es bezeichneX y die Faser vonf über einem Punkty ∈Y und
die analytische Einschränkung von
aufX y . Dann gilt: (I) Die Funktionend q (y)=dimℂH q (X y ,
sind halbstetig nach oben. (II) Ist für einq ∈ ℤ die Funktiond q (y) konstant undY reduziert, so ist dieq-te direkte Bildgarbe von
unterf lokal frei überY. (III) Die Euler-Poincaré-Charakteristikx(y)=∑(−1)q dimH q (X y ,
) ist lokal konstant überY. — Der Beweis benutzt systematisch den Begriff des „Steinschen Kompaktums“ (= kompakte semianalytische Menge mit Steinscher Umgebungsbasis). Mit Hilfe der von Frisch bewiesenen Tatsache, daß die Algebra der Schnitte in der Strukturgarbe eines komplexen Raumes über einem Steinschen Kompaktum noethersch ist (Invent. Math.4, 118–138 (1967); vgl. dies Zbl.167, 68 (1969)), gelingt es, die Grothendieckschen Methoden im algebraischen Fall (EGA III) auf die analytische Situation zu übertragen.
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Literatur
Bourbaki, N.: Algèbre commutative. Paris: Hermann 1961.
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-- Analytische Familien affinoider Algebren. S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl., 25–49 (1968).
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Riemenschneider, O. Über die Anwendung algebraischer Methoden in der Deformationstheorie komplexer Räume. Math. Ann. 187, 40–55 (1970). https://doi.org/10.1007/BF01368159
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01368159