Formes linéaires de logarithmes de points algébriques sur les groupes algébriques

Résumé

Dans ce papier, nous donnons des minorations de combinaisons linéaires à coefficients algébriques de logarithmes de points algébriques sur les groupes algébriques commutatifs: soitG un groupe algébrique commutatif connexe défini sur la clôture algébriqueQ de ℚ dans ℂ, et soitv∈T _G (ℂ) un point de l'espace tangent dont l'image exp _G (v) par l'exponentielle deG appartient àG(Q). On cherche à minorer la distance du pointv aux hyperplansW deT _G (ℂ), rationnels surQ, qui ne passent pas parv. Cette minoration dépend, entre autres, d'un majorantB de la hauteur usuelle des coefficients d'une forme linéaire définissantW. LorsqueG est un groupe linéaire, il s'agit de minorer une combinaison linéaire de logarithmes de nombres algébriques, et la méthode de A. Baker permet d'obtenir une minoration

$$dist\left( {v, W} \right) \geqq B^{ - c} $$

(avecC effectif, indépendant deB) qui est, en fonction deB, la meilleure possible (à la valeur de la constanteC près). Dans le cas général, un théorème de transcendance de G. Wüstholz [Wü2] montre que l'hypothèsev∉W est satisfaite dès queW ne contient aucun sous-espace de la formeT _G (ℂ), avecG′ sous-groupe algébrique deG tel quev∈T _G (ℂ). Le problème est donc de rendre effectif cet énoncé. Les résultats actuellement démontrés dans cette direction [P-W 1] sont de la forme

$$dist(v, W) \geqq \exp ( - C(\log B)^{d + 1} )\} $$

((1.1))

oùd est la dimension deG (l'énoncé précis est donné ci-dessous; cf. (2.18)). Nous allons maintenant démontrer

$$dist(v, W) \geqq \exp \{ - C(\log B)(\log \log B)^{d + 1} \} $$

((1.2))

ce qui s'approche de la minoration conjecturale:

$$dist(v, W) \geqq B^{ - c} $$

qui serait la meilleure possible.

Nous avons démontré (1.2) dans quelques cas particuliers dans [H 1], [H 2], par exemple dans le cas oùG est produit d'un groupeG _a et de courbes elliptiques. Pour obtenir cette amélioration dans ces cas particuliers, on introduisait un facteurG _a et adaptait une astuce inspirée par celle de Feldman, Masser et Reyssat. Mais une difficulté sérieuse se présentait pour étendre cet argument au cas général. La solution que nous proposons dans ce papier est la suivante: soitG′ un groupe algébrique commutatif connexe quelconque, défini surQ, et posonsG=G _a }G′. On ajoute ici un deuxième groupe algébrique additifG _a pour avoir le nouveau groupe algébriqueG _a }G _a }G′}G. On considère encore un nouveau point et un nouvel hyperplan sur l'espace tangent du groupeG _a ×G _a ×G′, tels que la minoration de distance de ce nouveau point à ce nouvel hyperplan fournisse l'estimation que l'on veut. Nous pouvons, en effet, obtenir que tous les coefficients d'une forme linéaire définissant cet hyperplan sont de modules bornés, ce qui est un nouveau phénomène dans la théorie de formes linéaires de logarithmes; c'est la clef pour avoir nos résultats. Bien que nous introduisions le deuxièmeG _a en plus, l'augmentation de la dimension de 1 ne rend pas l'estimation moins raffinée, grâce au bon choix du paramètre correspondant à ce facteur (L ₀ dans le choix 4.3). Remarquons que notre choix de paramètres est très différent de celui dans les travaux précédents.

La minoration que nous obtenons sera explicite non seulement en fonction deB, mais aussi en fonction de la hauteur du point exp _G (v) de ‖v‖ (où ‖·‖ est une norme que l'on choisit sur l'espace tangent) et en le dégré d'un corps de nombres sur lequelG est défini, qui contient les coefficients d'une forme linéaire définissantW et les cordonnées de exp _G (v) dans un plongement projectif. Pour obtenir un énoncé plus précis, nous écrivons notre groupe algébrique comme produit de facteursG _a ,G _m , et de groupes algébriques commutatifs connexes quelconques (ce n'est pas restrictif). Enfin, nous obtenons un énoncé légèrement plus fin lorsque exp _G (v)=0, c'est-à-dire quandv est une période de exp _G (v).

Nous énonçons ces résultats au paragraphe 2, et nous les comparons avec les résultats antérieurs. Le paragraphe 3 contient quelques lemmes auxiliaires. La démonstration du théorème 2.1 est donnée au paragraphe 4, celle du théorème 2.11 au paragraphe 5. On ajoute des corrections de l'article [P-W1] dans le paragraphe 6.