Experiences numeriques sur des billards C¹ formes de quatre arcs de cercles

Résumé

Le mouvement d'une particule dans un billard définit un système dynamique à deux degrés de liberté. On explore ci-dessous quelques uns de ces systèmes par des expériences numériques dont les résultats sont présentés dans la désormais classique surface de section.

Les billards étudiés appartiennent à des familles à un paramètre de bord C¹ formés de quatre arcs de cercles de rayons généralement inégaux. Les quatre points de raccord sont communs à tous les billard d'une même famille et sont sur un cercle. Ces billards généralisés, dont le billard ‘ovale’ à deux axes de symétrie de Benettin et Strelcyn est un cas particulier, peuvent être convexes ou non. On trouve les propriétés suivantes:

• (1) L'orbite périodique le long du petit diamètre d'un billard est stable ou instable dans l'approximation linéaire suivant la position de chaque arc d'impact relativement au centre de l'arc opposé. Elle est toujours stable pour un billard symétrique par rapport à son grand diamètre.

• (2) Pour les billards dont le centre de l'un des arcs est sur l'arc opposé, on observe une transition vers le chaos dont les traits, dans la surface de section, sont substantiellement différents selon deux directions perpendiculaires. Pour le billard de Benettin et Strelcyn on observe trois mers chaotiques distinctes emboîtées; deux d'entre elles sont séparées par une courbe pseudo-invariante engendrée par une orbite d'annulation.

• (3) L'aire totale des régions non chaotiques est plus grande pour les billards symétrigues.

• (4) Les billards en forme de cacahuète semblent toujours ergodiques. Il arrive aussi que des billards asymétriques strictement convexes paraissent ergodiques. Ce résultat est important car on ne connaît pas de billard strictement convexe pour lequel l'ergodicité soit démontrée. On propose également la conjecture qu'un billard généralisé sans orbite 2-périodique ou 4-périodique stable dans l'approximation linéaire est ergodique.

• (5) Les courbes invariantes transversales trouvées par Hénon et Wisdom semblent exister pour les billards à deux axes de symétrie seulement.

Les billards asymétriques ont donc des propriétés qui les distinguent nettement des billards symétriques et en font de mauvais modèles pour les applications différentiables générales.

Abstract

The paper deals with some properties of the dynamical system with two degrees of freedom defined by the motion of a particle in a certain type of billiard. These properties are studied by means of numerical experiments. Most results are represented in the now classical surface of section.

One parameter families of billiards with a C¹ boundary constructed with four arcs of circles are defined; we use the property that the four meeting points of such billiards lie on the same circle. These billiards may be convex or non convex. They generalize the ‘oval’ billiard with two axes of symmetry studied by Benettin and Strelcyn. We call them generalized billiards.

We find the following results:

• (1) The periodic orbit along the small diameter of a billiard is stable or unstable in the linear approximation according to the position of the center of each relevant are with respect to the opposite one. This orbit is always stable if the billiard is symmetric with respect to its large diameter.

• (2) When the center of an arc lies on the opposite arc two different transition patterns from order to chaos are observed for the same billiard. If the billiard is of the Benettin and Strelcyn type three distinct nested chaotic seas are seen two of which are separated by a pseudo-invariant curve generated by a so called cancellation orbit.

• (3) The total area of non chaotic regions is greater for symmetric billiards.

• (4) Peanut shaped billiards always look ergodic. It can happen also that strictly convex asymmetric billiards look ergodic. This is important since no strictly convex billiard is known for which ergodicity has been proven. The conjecture is proposed that a generalized billiard with neither 2-periodic nor 4-periodic stable orbit in the linear approximation is ergodic.

• (5) Transverse invariant curves such as the one found by Hénon and Wisdom seem common for billiards with two axes of symmetry but probably do not exist for asymmetric billiards.

There are therefore several properties which differentiate symmetric billiards from asymmetric ones. We conclude by emphasizing that C¹ generalized billiards are indeed inadequate models for smooth mappings in general.