Eine Cosserat-Theorie des plastischen Flie\ens

Zusammenfassung

In geeigneter Übertragung der Ideen von E. undF. Cosserat (1896) auf die Plastizitätstheorie werden Drehgeschwindigkeiten der infinitessimalen Werkstoffelemente (Körner) betrachtet, die unabhängig von den durch das klassische Geschwindigkeitsfeld induzierten Rotationen sind. Die Differenz beider sowie die Relativdrehung benachbarter Körner sind zusätzliche Verformungsgrö\en. Dementsprechend wird die Statik durch asymmetrische Schubspannungen und Momentenspannungen vervollständigt. Für ein angemessenes Grundgleichungssystem sind mindestens zwei Flie\kriterien, beide im Zusammenspiel als plastische Potentiale, und die zugehörige Flie\regel erforderlich. Davon werden drei spezielle Formen als Verallgemeinerungen desTrescaschen sowie desHuber-Lévy-Misesschen Stoffgesetzes aufgestellt und angewendet (a) auf die Torsion des Kreiszylinders — wobei in einem Fall der experimentell beobachtete isotropePoynting-Effekt (Längenänderung) herauskommt — und (b) auf die allgemeine ebene Formänderung. Hier erweist sich nur die verkürzte Theorie (keine antimetrischen Schubspannungen) als genügend einfach: Alle klassischen Gleitlinienlösungen bleiben gültig, und die zusätzlichenCosserat-Grö\en kann man auf geometrischem Wege ermitteln.

Summary

Adapting ideas of E. andF. Cosserat (1896) to the theory of plasticity, rotational velocities of infinitesimal material elements (grains) are considered which are independent of the rotations induced by the classical velocity field. The difference of the two as well as the relative rotation of neighbouring grains are additional deformational quantities. Accordingly, statics is completed by asymmetric shear stresses and couple stresses. At least two yield criteria, being plastic potentials in combination, and the associated flow rule are necessary to give an adequate set of basic equations. Three special forms, generalizing theTresca and theHuber-Lévy-Mises constitutive laws, are established and applied to (a) the torsion of circular cylinders — where one case results in the experimentally observed isotropicPoynting effect (change of length) — and (b) general plane strain. Here, only the shortened theory (no asymmetric stresses) proves to be sufficiently simple: All the classical slip line solutions remain valid, and the additionalCosserat quantities can be found by geometric means.