Stability of the solutions to Mathieu-Hill equations with damping

Summary

The Mathieu-Hill equations with the addition of the damping term are treated directly, and not as an extended problem of the undamped case. To some extent this in fact simplifies the problem, and the basic theorems are derived without too much mathematics. The aim of the paper is to analyse the stability of the solutions, and this object is obtained by the Bubnov-Galerkin procedure, which is rather unused in relation to Mathieu-Hill equations. For the specific periodic function cos 2τ + a ₄ cos 4τ stability diagrams are presented, including cases with “coexistent” solutions.

Übersicht

Die Mathieu-Hill-Gleichungen mit Dämpfungsglied werden unmittelbar, nicht nur als Erweiterung des Falles ohne Dämpfung, untersucht. In gewisser Weise vereinfacht sich die Aufgabe dadurch, so daß grundlegende Sätze ohne großen mathematischen Aufwand abgeleitet werden können. Ziel ist die Untersuchung der Stabilität der Lösungen. Hierzu wird das Verfahren von Bubnov-Galerkin verwendet. Für eine periodische Funktion cos 2τ + a ₄ cos 4τ werden Stabilitätsdiagramme angegeben, bei denen auch coexistierende Lösungen berücksichtigt sind.