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References
Anonymus, 1873. “Zum Andenken an Rudolf Friedrich Alfred Clebsch,” Math. Ann. 6 (1873), 197–202.
Arnold, V. I., 1989. Mathematical Methods of Classical Mechanics, New York, Springer-Verlag, 2nd edn., K. Vogtmann & A. Weinstein, transl., 1989.
Bour, E., 1855a. “Sur l'intégration des équations différentielles de la mécanique analytique,” Comptes Rendus, Acad. Sci. Paris 40 (1855), 524–526.
Bour, E., 1855b. “Sur l'intégration des équations différentielles de la mécanique analytique,” Jl. des math. pures et appl., 20 (1855), 185–208.
Bour, E., 1856. “Mémoire sur l'intégration des équations différentielles de la mécanique analytique,” Mémoires présentés par divers savants à l'Institut de France, Paris 14 (1856), 792–812.
Bour, E., 1862a. “Sur l'intégration des équations différentielles partielles du premier et du second ordre,” Comptes Rendus, Acad. Sci. Paris 54 (1862), 439–444; 549–554; 588–593; 645–655.
Bour, E., 1862b. “Sur l'intégration des équations différentielles partielles du première et du second ordre,” Journal de l'Ecole Polytechnique, Cahier 39 (1862), 149–191.
Bourbaki, N., 1972. “Note historique,” Eléments de mathématiques. Fasc. XXXVII. Groupes et Algèbres de Lie, Paris, 1972, pp. 286–308.
Carathéodory, C., 1935. Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Leipzig, Teubner, 1935. Translated and edited by R. Dean & J. Brandstatter, as Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First Order, 2 vols., San Francisco, 1965 & 1967; 2nd edn., 1 vol., New York (Chelsea). 1982.
Cauchy, A., 1819. “Note sur l'intégration des équations aux différences partielles du premiere ordre à un nombre quelconque de variables,” Bull. de la Société Philomatique (1819), 10–21. Reprinted in Oeuvres (2) 2, 238–252. Translated into German and annotated by G. Kowalewski in Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 113 (Leipzig, 1900).
Cecil, T., & S. Chern, 1987. “Tautness and Lie Sphere Geometry,” Math. Ann. 278 (1987), 381–399.
Clebsch, A., 1861. “Ueber Jacobi's Methode, die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zu integriren, und ihre Ausdehnung auf das Pfaff'sche Problem, Auszug aus einem Schreiben an den Herausgeber,” Jl. für die reine u. angew. Math. 59 (1861), 190–192.
Clebsch, A., 1862. „Ueber das Pfaffsche Problem,“ Jl. für die reine u. angew. Math. 60 (1862), 193–251.
Clebsch, A., 1863. „Ueber das Pfaffsche Problem. Zweite Abhandlung,“ Jl. für die reine u. angew. Math. 61 (1983), 146–179.
Clebsch, A., 1866. „Ueber die simultane Integration linearer partieller Differentialgleichungen,“ Jl. für die reine u. angew. Math. 65 (1866), 257–268.
Donkin, W. F., 1854. “On a Class of Differential Equations, including those which occur in Dynamical Problems, Part I,“ Philosophical Transactions 144 (1854), 71–113.
Dugas, R., 1950. Histoire de la mécanique, Paris and Neuchâtel, 1950.
Engel, F., 1899. “Sophus Lie,” Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Math.-phys. Cl. (1899), xi–lxi.
Engel, F., 1932. Die Liesche Theorie der Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, Leipzig, Teubner, 1932.
Euler, L., 1770. Institutiones calculi integralis. Volumen tertium, St. Petersburg, 1770.
Frobenius, G., 1877. „Über das Pfaffische Probleme,“ Jl. für die reine u. angew. Math. 82 (1877), 230–315.
Gauss, C., 1815. Review of [Pfaff 1815], Göttingische gelehrte Anzeigen 1815, 1025–1038.
González-Lopez, A., N. Kamran & P. Olver, 1990a. “Lie Algebras of Differential Operators in Two Complex Variables,” Institute for Mathematics and Its Applications. Preprint Series # 617 (1990).
González-Lopez, A., N. Kamran & P. Olver, 1990b. “Lie Algebras of Vector Fields in the Real Plane,” preprint (1990).
Goursat, E., 1921. Leçons sur l-intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, Paris, 2nd edn., 1921.
Guldberg, A., 1913. „Verzeichnis über den wissenschaftlichen Nachlass von Sophus Lie. Zweite Mitteilung,“ Videnskapsselskapet Skrifter 1. Mat.-Naturw. Klasse 1913, No. 5.
Hamilton, W. R., 1834. “On a General Method in Dynamics by which the Study of the Motions of all Free Systems of Attracting or Repelling Points is Reduced to the Search and Differentiation of One Central Relation, or Characteristic Function,” Phil. Trans. R. Soc. London, 1834 (part II), (1834), 247–308. Reprinted in Papers 2, 103–161.
Hamilton, W. R., 1835. “Second Essay on a General Method in Dynamics,” Phil. Trans. R. Soc. London, 1835 (part I), (1835), 95–144. Reprinted in Papers 2, 162–211.
Hankins, T. L., 1980. Sir William Rowan Hamilton, Baltimore, Johns Hopkins Press, 1980.
Hawkins, T., 1980. “Non-Euclidean Geometry and Weierstrassian Mathematics: The Background to Killing's Work on Lie Algebras,” Historia Mathematica 7 (1980), 289–342.
Hawkins, T., 1982. “Wilhelm Killing and the Structure of Lie Algebras,” Archive for Historyof Exact Sciences 26 (1982), 127–192.
Hawkins, T., 1989. “Line Geometry, Differential Equations and the Birth of Lie's Theory of Groups,” The History of Modern Mathematics, Vol. 1, J. McCleary & D. Rowe, ed., New York, Academic Press, 1989, pp. 275–327.
Hermann, R., 1970. Vector Bundles in Mathematical Physics, vol. 2, New York 1970.
Hermann, R., 1973. Geometry, Physics, and Systems, New York 1973.
Hermann, R., 1975. Sophus Lie's 1880 Transformation Group Paper. Translated by M. Ackerman. Comments by Robert Hermann, Brookline, Mass. (Math Sci Press), 1975.
Hermann, R., 1976. Sophus Lie's 1884 Differential Invariant Paper. Translated by M, Ackerman. Comments and Additional Material by Robert Hermann, Brookline, Mass. (Math Sci Press), 1976.
Imschenetsky, W., 1869. “Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du première ordre,” Archiv für Math. u. Physik 50 (1869), 278–474.
Jacobi, C., 1827a. „Über die Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung,“ Jl. für die reine u. angew. Math. 2 (1827), 317–329. Reprinted in Werke 4, 3–15.
Jacobi, C., 1827b. „Über die Pfaffsche Methode, eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zwischen 2n Variabein durch ein System von n Gleichungen zu integriren,“ Jl. für die reine u. angew. Math. 2 (1827), 347–357. Reprinted in Werke 4, 19–29.
Jacobi, C., 1837. „Zur Theorie der Variations-Rechnung und der Differential-Gleichungen,“ Jl. für die reine u. angew. Math. 17 (1837), 68–82. Reprinted in Werke 4, 41–55. [29 November 1836.]
Jacobi, C., 1837. „Über die Reduction der Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen irgend einer Zahl Variablen auf die Integration eines einzigen Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen,“ Jl. für die reine u. angew. Math. 17 (1837), 97–162. Reprinted in Werke 4, 59–127.
Jacobi, C., 1840. “Sur un théorème de Poisson,” Comptes Rendus, Acad. Sci. Paris, 11 (1840), 529–30. Reprinted in Werke 4, 145–146.
Jacobi, C., 1862. “Nova methodus, aequationes differentiales partiales primi ordinis inter numerum variabilium quemcumque propositas integrandi,” Jl. für die reine u. angew. Math. 60 (1862), 1–181. Reprinted in Werke 4, 3–189. [A. Clebsch, ed.] Translated into German and annotated by G. Kowalewski as Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 156 (Leipzig, 1906).
Jacobi, C., 1866. Vorlesungen über Dynamik, Berlin, A. Clebsch, ed., 1866.
Jordan, C., 1870. Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, 1870.
Klein, F., 1871. „Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz),“ Math. Ann. 6 (1873), 311–343. Reprinted in Abhandlungen 1, 311–343. [Göttingen 8 June 1872.]
Klein, F., 1872. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Programm zum Eintritt in die philosophische Fakultät und den Senat der k. Friedrich-Alexanders-Universität zu Erlangen, Erlangen, 1872. Reprinted with additional notes in Math. Ann. 43 (1893)=Abhandlungen 1, 460–497.
Klein, F., 1916 MS. Manuscript entitled „Mitteilungen von Felix Klein über seine Beziehungen zu Lie. (Nach Aufzeichnungen, die Engel im Sept. 1916 in Göttingen gemacht hat, wohin zu kommen ihn Klein aufgefordert hatte.)“ 25 pages. Manuscript in the hand of Friedrich Engel. In possession of Professor Ernst Hölder, Mainz, Germany.
Klein, F., & S. Lie, 1871. „Über diejenigen ebenen Kurven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen,“ Math. Ann. 4 (1871), 50–84. Reprinted in Klein, Abhandlungen 1, 424–459 and Lie, Abhandlungen 1, 229–285. [March 1871.]
Koenigsberger, L., 1904. Carl Gustav Jacob Jacobi, Leipzig, 1904.
Lagrange, J. L., 1772. “Sur l'intégration des équations à differences partielles du premier ordre,” Nouv. Mém. Acad. des Sci. et Belles-Lettres Berlin, 1772, (1774), 353–372. Reprinted in Oeuvres 3, 549–575. Translated into German and annotated by G. Kowalewski in Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 113 (Leipzig, 1900).
Lagrange, J. L., 1774. “Sur les intégrales particulières des équations différentielles,” Nouv. Mém. Acad. des Sci. et Belles-Lettres Berlin, 1774. Reprinted in Oeuvres 4, 5–108.
Lagrange, J. L., 1781. “Sur différentes questions d'analyse relatives à la théorie des integrales particulières,” Nouv. Mém. Acad. des Sci. et Belles-Lettres Berlin, 1779, (1781), 121–160. Reprinted in Oeuvres 4, 585–634.
Lagrange, J. L., 1806. Leçons sur le calcul des fonctions. Novelle édition, Paris, 1806.
Lie, S., 1869a. „Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie,“ Forhandlinger Christiania 1869, (1870), 16–38, 107–146. Reprinted in Abhandlungen 1, 16–66. [August 1869.]
Lie, S., 1869b. „Über eine Darstellung des Imaginären in der Geometrie,“ Jl. für die reine u. angew. Math. 70 (1869), 346–353. Reprinted in Abhandlungen 1, 1–11. [March 1869.]
Lie, S., 1871a. „Zur Theorie eines Raumes von n Dimensionen,“ Göttingen Nachrichten 1871, (1871), 535–557. Reprinted in Abhandlungen 1, 271–285. [15 November 1871.]
Lie, S., 1871b. „Zur Theorie eines Raumes von n Dimensionen II,“ Abhandlungen 7 (1960), 1–10. [3 Dezember 1871.]
Lie, S., 1872a. „Kurzes Résumé mehrerer neuer Theorien,“ Forhandlinger Christiania 1872, (1873), 24–27. Reprinted in Abhandlungen 3, 1–4. [30 April 1872.]
Lie, S., 1872b. „Neue Integrationsmethode partieller Gleichungen erster Ordnung zwischen n Variabeln,“ Forhandlinger Christiania 1872, (1873), 28–34. Reprinted in Abhandlungen 3, 5–11. [8 May 1872.]
Lie, S., 1872c. „Zur Invariantentheorie der Berührungstransformationen,“ Forhandlinger Christiania 1872, (1873), 133–135. Reprinted in Abhandlugen 3, 29–30. [20 December 1872.]
Lie, S., 1872d. „Zur Theorie der Differentialprobleme,“ Forhandlinger Christiania 1872, (1873), 132–133. Reprinted in Abhandlungen 3, 27–28. [14 November 1872.]
Lie, S., 1872e. „Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, insbesondere über eine Klassifikation derselben,“ Göttingen Nachrichten 1872, (1872), 473–489. Reprinted in Abhandlungen 3, 16–26. [Erlangen 11 October 1872.]
Lie, S., 1872f. „Über eine neue Integrationsmethode partieller Differentialgleichungen erster Ordnung,“ Göttingen Nachrichten 1872, (1872), 321–326. Reprinted in Abhandlungen 3, 12–15. [Christiania, 4 June 1872.]
Lie, S., 1873a. „Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, in denen die unbekannte Funktion explizite vorkommt,“ Forhandlinger Christiania 1873, (1874), 52–85. Reprinted in Abhandlungen 3, 64–95. [21 March 1873.]
Lie, S., 1873b. „Zur analytischen Theorie der Berührungstransformationen,“ Forhandlinger Christiania 1873, (1874), 237–262. Reprinted in Abhandlungen 3, 96–119. [August 1873.]
Lie, S., 1873c. „Über partielle Differentialgleichungen erster Ordnung,“ Forhandlinger Christiania 1873, (1874), 16–51. Reprinted in Abhandlungen 3, 32–63. [21 March 1873.]
Lie, S., 1873 MSa. Draft of a letter received by Mayer on November 12, 1873. Four folio pages. Royal University Library, Oslo, Ms. fol. 3839 XL: 14.
Lie, S., 1873 MSb. Manuscript with headings, „Begriff einer infinitesimalen Transformation,“ „Transformations-Gruppen“, and „Gruppen von Berührungs-Transformationen.“ 4 folio pages, undated but bearing a later annotation in Lie's hand „Sehr alt, etwa Decbr. 1873,“ Royal University Library, Oslo, Ms. fol. 3839 XL: 11.
Lie, S., 1874a. „Allgemeine Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung,“ Forhandlinger Christiania 1874, (1875), 198–226. Reprinted in Abhandlungen 3, 149–174. [20 November 1874.]
Lie, S., 1874b. „Begründung einer Invariantentheorie der Berührungstransformationen,“ Math. Ann. 8 (1874), 215–303. Reprinted in Abhandlungen 4, 1–96. [Christiania 5 July 1874.]
Lie, S., 1874c. „Verallgemeinerung und neue Verwertung der Jacobischen Multiplikatortheorie,“ Forhandlinger Christiania 1874, (1875), 255–274. Reprinted in Abhandlungen 3, 188–205. [November 1874.]
Lie, S., 1874d. „Zur Theorie des Integrabilitätsfaktors,“ Forhandlinger Christiania 1874, (1875), 242–254. Reprinted in Abhandlungen 3, 176–186.
Lie, S., 1874e. „Über Gruppen von Transformationen,“ Göttingen Nachrichten 1874, (1874), 529–542. Reprinted in Abhandlungen 5, 1–8. [3 December 1874.]
Lie, S., 1875. „Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung,“ Math. Ann. 9 (1875–76), 245–296. Reprinted in Abhandlungen 4, 97–151. [Christiania June 1875.]
Lie, S., 1876a. „Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Zweite Abhandlung,“ Math. Ann. 11 (1877), 464–557. Reprinted in Abhandlungen 4, 163–262. [Christiania 15 October 1876.]
Lie, S., 1876b. „Theorie der Transformationsgruppen. Abhandlung II,“ Archiv for Mathematik 1 (1876), 152–193. Reprinted in Abhandlungen 5, 42–75. [Kristiania May 1876.]
Lie, S., 1876c. „Theorie der Transformationsgruppen. Erster Abhandlung,“ Archiv for Mathematik 1 (1876), 19–57. Reprinted in Abhandlungen 5, 9–41.
Lie, S., 1878a. „Theorie der Transformationsgruppen III. Bestimmung aller Gruppen einer zweifach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeit,“ Archiv for Mathematik 3 (1878), 93–128. Reprinted in Abhandlungen 5, 78–133.
Lie, S., 1878b. „Theorie der Transformationsgruppen. Abhandlung IV,“ Archiv for Mathematik 3 (1878), 375–460. Reprinted in Abhandlungen 5, 136–197. [Christiania 15 October 1878.]
Lie, S., 1879a. „Theorie der Transformationsgruppen V,“ Archiv for Mathematik 4 (1879), 232–261. Reprinted in Abhandlungen 5, 199–222.
Lie, S., 1879b. „Theorie der Transformationsgruppen I,“ Math. Ann. 16 (1880), 441–528. Reprinted in Abhandlungen 6, 1–94. [Christiania, December 1879.]
Lie, S., 1884a. „Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen, die eine kontinuierliche, endliche Gruppe gestatten,“ Math. Ann. 25 (1885), 71–151. Reprinted in Abhandlungen 6, 139–223. [Christiania, 5 July 1884.]
Lie, S., 1884b. „Über Differentialinvarianten,“ Math. Ann. 24 (1884), 537–578. Reprinted in Abhandlungen 6, 95–138. [Christiania, 29 May 1884.]
Lie, S., 1888a, 1890, 1893. Theorie der Transformationsgruppen. Unter Mitwirkung von ... Friedrich Engel, 3 vols., Leipzig, 1888–1893.
Lie, S., 1888b. „Zur Theorie der Berührungstransformationen,“ Abhandlungen k. sächs. Ges. Wiss. Leipzig Math. phys. Kl. 14 (1888), 537–562. Reprinted in Abhandlungen 4, 265–290. [7 July 1888.]
Lie, S., 1889. „Über irreduzible Berührungstransformationsgruppen,“ Berichte über d. Verh. d. Sächsischen Gesell. der Wiss., math.-phys. Klasse, 1889, (1890), 320–327. Reprinted in Abhandlungen 6, 260–266. [1 July 1889.]
Lie, S., 1896. Geometrie der Berühungstransformationen. Dargestellt von Sohus Lie und Georg Scheffers, Leipzig, 1896.
Liouville, J., 1840. “Note sur un des théorèms de Jacobi,” Jl. des math. pures et appl. 5 (1840), 351–355.
Liouville, J., 1855. “Sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique, présentée au Bureau des Longitudes le 29 juin 1853,“ Jl. des math. pures et appl. 20 (1855), 137–138.
Lützen, J., 1990. Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics, New York, Springer-Verlag, 1990.
Mayer, A., 1871. “„Ueber die Integration simultaner partieller Differentialgleichungen der ersten Ordnung mit derselben unbekannten Function,“ Math. Ann. 4 (1871), 88–94.
Mayer, A., 1872a. „Die Lie'sche Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung,“ Göttingen Nachrichten 1872, (1872), 467–472. [9 October 1872.]
Mayer, A., 1872b. „Ueber unbeschränkt integrable Systeme von linearen totalen Differentialgleichungen und die simultane Integration linearer partieller Differentialgleichungen,“ Math. Ann. 5 (1872), 448–470. [Leipzig, February 1872.]
Mayer, A., 1873. „Die Lie'sche Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung,“ Math. Ann. 6, 162–196. [October 1872.]
Monge, G., 1850. Application de l'analyse a la géométrie. Cinquième édition, revue, corrigée et annotée par M. Liouville, Paris, Bachelier, 1850.
Olver, P. J., 1986. Applications of Lie Groups to Differential Equations, New York, Springer-Verlag, 1986.
Pfaff, J. F., 1815. “Methodus generalis aequationes differentiarum partialium, nec non aequationes differentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotcunque variabiles, complete integrandi,“ Abhandlungen d. Akad. der Wiss. zu Berlin 1814–15, (1818), 76–136. [15 May 1815.] Translated into German and annotated by G. Kowalewski as Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 128 (Leipzig, 1902).
Poisson, S., 1809. “Mémoire sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de mécanique,“ Journal de l'Ecole Polytechnique, Cahier 15 (1809), 266–344.
Rowe, D., 1989. “The Early Geometrical Works of Felix Klein and Sophus Lie,” The History of Modern Mathematics, Vol. 1, J. McCleary & D. Rowe, ed., New York, Academic Press, 1989, pp. 200–273.
Scholz, E., 1980. Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriffes von Riemann bis Poincaré, Boston, Birkhäuser, 1980.
Serret, J., 1866. Cours d'Algèbre Supérieure, 3rd edn., Paris, 1866.
Singer, I., & S. Sternberg, 1965. “The Infinite Groups of Lie and Cartan, Part I (The Transitive Groups),” Journal d'analyse mathématique 15 (1965), 1–114.
Tobies, R., & D. Rowe, 1990. Korrespondenz Felix Klein-Adolph Mayer. Auswahl aus den Jahren 1871–1907 Herausgegeben, eingeleitet und kommentiert von R. Tobies und D. Rowe, Leipzig (B. G. Teubner).
Weiler, J. A., 1859. „Integration der partiellen Differentialgleichungen erster und zweiten Ordnung,“ Archiv der Mathematik und Physik 33 (1859), 171–329.
Weiler, J. A., 1863. „Integration der partiellen Differentialgleichungen 1. O. mit n+1 Veränderlichen,“ Ztschr. für Math. u. Physik 8 (1963), 264–292.
Weinstein, A., 1983. “Sophus Lie and symplectic geometry,“ Expositiones Mathematicae, 1 (1983), 95–96.
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Hawkins, T. Jacobi and the birth of Lie's theory of groups. Arch. Hist. Exact Sci. 42, 187–278 (1991). https://doi.org/10.1007/BF00375135
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