Die theorie der nichtmetrischen Spannungen in Kristallen

Summary

Dissertation Teil III, Universität Stuttgart (TH), 1969.

Inhomogeneous quasiplastic deformations give rise to internal stresses in a solid body. These “non-metric” stresses are investigated in the stationary case by means of non-linear continuum theory based on a non-metric, non-Euclidean geometry. The theory is developed for crystals. It is also applicable to polycrystalline and amorphous bodies.

The quasiplastically deformed crystal is geometrically described by an “elastic metric tensor” and by a “lattice connexion”, which is considered to be non-metric with respect to the elastic metric. The covariant derivative of the elastic metric tensor, based on the lattice connexion, is regarded as source-function of non-metric stresses. Source functions for thermal and magnetostrictive stresses are explicitly established.

It is a well known fact that non-metric stresses may be included into the linear continuum theory of dislocations if the concept of “quasidislocation-density” is used. Generalizing these ideas, it is shown that, within non-linear continuum theory, in addition to quasidislocation-density the concept of “quasidisclination-density” is absolutely necessary. With the help of these quantities a complete analogy between non-metric stresses and stresses caused by crystal dislocations and crystal disclinations may be established. A unified non-linear theory for quasiplastic deformations, crystal dislocations and crystal disclinations is developed. It turns out that in general non-metric stresses cannot be compensated completely by dislocation movements.

Zusammenfassung

Im Festkörper führen inhomogene, quasiplastische Deformationen zu inneren Spannungen. Diese „nichtmetrischen” Spannungen werden für den stationären Fall im Rahmen einer nichtlinearen Kontinuumstheorie untersucht. Der Theorie liegt eine nichtmetrische, nichteuklidische Geometrie zugrunde. Die Theorie wird für Einkristalle entwickelt. Sie gilt aber auch für vielkristalline und für amorphe Körper.

Der quasiplastisch verzerrte Kristall wird geometrisch mit Hilfe einer „Gitterkonnexion” und eines „elastischen Metriktensors” beschrieben, wobei die Gitterkonnexion nichtmetrisch ist bezüglich der elastischen Metrik. Die kovariante Ableitung des elastischen Metriktensors bezüglich der Gitterkonnexion ist die Quellenfunktion der nichtmetrischen Spannungen. — Die Quellenfunktionen der Temperaturspannungen und der magnetostriktiven Spannungen werden explizit angegeben.

Es ist seit langem bekannt, daß die nichtmetrischen Spannungen im Rahmen einer linearen Theorie mit Hilfe des Begriffs „Quasiversetzungsdichte” in die Kontinuumstheorie der Versetzungen einbezogen werden können. Durch eine Verallgemeinerung dieser Gedankengänge wird gezeigt, daß in der nichtlinearen Kontinuumstheorie außer der Quasiversetzungsdichte auch eine „Quasidisklinationsdichte” eingeführt werden muß. Mit Hilfe dieser beiden Begriffe erreicht man erne vollkommene Analogie der nichtmetrischen Spannungen zu den von Kristallversetzungen und Kristalldisklinationen verursachten Spannungen. Es wird eine einheitliche, nichtlineare Kontinuumstheorie der quasiplastischen Deformationen, der Kristallversetzungen und der Kristalldisklinationen angegeben. Man kann zeigen, daß nichtmetrische Spannungen i. allg. durch Versetzungsbewegungen nicht vollständig abgebaut werden können.